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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Fixons ˜
L. Pour ˜
S
∈ P
˜
L ( ˜
R), fixons un point ν ˜
S ∈ A
∗
˜
R
tel que ν ˜
S , ˇ
α soit assez
grand pour tout α ∈ Σ
˜
S
(A ˜
R ) ⊂ Σ
˜
L (A ˜
R ). Soit ˜
S ∈ P( ˜
R), posons ˜
S
= ˜
S ∩ ˜
L.
Alors le segment joignant ν ˜
S à ν ˜
S est formé de points ν tels que ν, ˇ
α est grand
pour toute racine α ∈ Σ
˜
S
(A ˜
R ). Il ne coupe aucun hyperplan polaire de la fonction
J
˜
L
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,ω )e
− ˜
λ,X . On peut donc déplacer le contour d’intégration et
remplacer l’intégrale sur ν ˜
S + iA
∗
˜
R,F
par celle sur ν ˜
S + iA
∗
˜
R,F
. La somme sur les ˜
S
devient une somme sur les ˜
S
d’intégrales ne dépendant que de ˜
S
et de la somme
˜
S; ˜
S∩ ˜
L= ˜
S
ω ˜
S (X).
D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ω ˜
S (X). On obtient alors
J ( ˜
L) =
c J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ˜
Q,ω
.
Nous retenons la formule obtenue
(2)
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π), f
=
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π), f ˜
Q,ω
.
Le calcul ci-dessus est formel puisqu’on n’a pas encore prouvé que les sommes
étaient convergentes. Mais il entraîne que, pour démontrer cette convergence, plus
précisément pour démontrer que les sommes sont finies, il suffit de le faire pour
chaque terme de la somme ci-dessus. En appliquant ceci au cas ˜
M
= ˜
R, on est
ramené au cas où ˜
R = ˜
M . Dans ce cas, fixons ˜
S ∈ P
˜
G ( ˜
M ). On voit que l’intégrale
figurant dans (1) n’est non nulle que si la projection X ˜
G de X dans ˜
A ˜
G,F appartient
à la projection du support de f . Cette projection est finie puisque f est à support
compact. On peut donc décomposer la somme en X selon cette projection et
prouver que la somme en les X ayant une projection X ˜
G fixée est finie. Fixons
comme en 1.2 une section de la projection ˜
A
∗
˜
M,C
→ A
∗
˜
M,C
. La fonction
λ → J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)
est rationnelle. Pour | Re(λ)| assez grand, elle vérifie une majoration
|J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)| ≤ c 1 e
C1| Re(λ)|
pour des constantes positives convenables c 1 et C 1 . Faisons tendre le point ν ˜
S vers
l’infini de sorte que |ν ˜
S | reste équivalent à ν ˜
S , ˇ
α pour tout α ∈ Σ
˜
S (A ˜
M ). Puisque
les α, X sont minorés pour de tels α quand ω ˜
S (X) = 0, il existe des nombres
réels strictement positifs c 1 , C 2 et C 3 de sorte que
|e
λ,X
| ≤ c 2 e
C2|λ|−C3|X||λ|
pour X tel que ω ˜
S (X) = 0 et que la projection X ˜
G soit fixée. En faisant tendre
ν ˜
S vers l’infini, l’intégrale devient nulle pourvu que C 3 |X| > C 1 + C 2 . Or il n’y
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Fixons ˜
L. Pour ˜
S
∈ P
˜
L ( ˜
R), fixons un point ν ˜
S ∈ A
∗
˜
R
tel que ν ˜
S , ˇ
α soit assez
grand pour tout α ∈ Σ
˜
S
(A ˜
R ) ⊂ Σ
˜
L (A ˜
R ). Soit ˜
S ∈ P( ˜
R), posons ˜
S
= ˜
S ∩ ˜
L.
Alors le segment joignant ν ˜
S à ν ˜
S est formé de points ν tels que ν, ˇ
α est grand
pour toute racine α ∈ Σ
˜
S
(A ˜
R ). Il ne coupe aucun hyperplan polaire de la fonction
J
˜
L
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,ω )e
− ˜
λ,X . On peut donc déplacer le contour d’intégration et
remplacer l’intégrale sur ν ˜
S + iA
∗
˜
R,F
par celle sur ν ˜
S + iA
∗
˜
R,F
. La somme sur les ˜
S
devient une somme sur les ˜
S
d’intégrales ne dépendant que de ˜
S
et de la somme
˜
S; ˜
S∩ ˜
L= ˜
S
ω ˜
S (X).
D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ω ˜
S (X). On obtient alors
J ( ˜
L) =
c J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ˜
Q,ω
.
Nous retenons la formule obtenue
(2)
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π), f
=
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π), f ˜
Q,ω
.
Le calcul ci-dessus est formel puisqu’on n’a pas encore prouvé que les sommes
étaient convergentes. Mais il entraîne que, pour démontrer cette convergence, plus
précisément pour démontrer que les sommes sont finies, il suffit de le faire pour
chaque terme de la somme ci-dessus. En appliquant ceci au cas ˜
M
= ˜
R, on est
ramené au cas où ˜
R = ˜
M . Dans ce cas, fixons ˜
S ∈ P
˜
G ( ˜
M ). On voit que l’intégrale
figurant dans (1) n’est non nulle que si la projection X ˜
G de X dans ˜
A ˜
G,F appartient
à la projection du support de f . Cette projection est finie puisque f est à support
compact. On peut donc décomposer la somme en X selon cette projection et
prouver que la somme en les X ayant une projection X ˜
G fixée est finie. Fixons
comme en 1.2 une section de la projection ˜
A
∗
˜
M,C
→ A
∗
˜
M,C
. La fonction
λ → J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)
est rationnelle. Pour | Re(λ)| assez grand, elle vérifie une majoration
|J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)| ≤ c 1 e
C1| Re(λ)|
pour des constantes positives convenables c 1 et C 1 . Faisons tendre le point ν ˜
S vers
l’infini de sorte que |ν ˜
S | reste équivalent à ν ˜
S , ˇ
α pour tout α ∈ Σ
˜
S (A ˜
M ). Puisque
les α, X sont minorés pour de tels α quand ω ˜
S (X) = 0, il existe des nombres
réels strictement positifs c 1 , C 2 et C 3 de sorte que
|e
λ,X
| ≤ c 2 e
C2|λ|−C3|X||λ|
pour X tel que ω ˜
S (X) = 0 et que la projection X ˜
G soit fixée. En faisant tendre
ν ˜
S vers l’infini, l’intégrale devient nulle pourvu que C 3 |X| > C 1 + C 2 . Or il n’y