VIII.1. L’application
c θ ˜
M
939
Posons
(1)
c J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f )
=
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f )e
− ˜
λ,X dλ,
où les points ν ˜
S sont choisis comme ci-dessus. Il n’est pas clair que cette somme
converge. Il n’est pas non plus clair qu’elle ne dépende que de Ind
˜
M
˜
R (˜ π). Ces deux
propriétés sont assurées par la proposition suivante.
Proposition.
(i) L’expression (1) est une somme finie et ne dépend que de Ind
˜
M
˜
R
(˜ π).
(ii) Il existe une unique application linéaire
C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
f
→
c φ ˜
M (f )
de sorte que, pour tout ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), toute ω-représentation elliptique ˜
π de
˜
R(F ) et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on ait l’égalité
I
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ ˜
M (f )) =
c J
˜
G
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ).
Preuve. Fixons des mesures de Haar sur tous les groupes pour nous débarrasser
des espaces de mesures. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). On va commencer par prouver une
formule de descente, sous une forme assez générale car cela nous servira ultérieurement. Fixons un espace de Levi ˜
M
tel que ˜
R ⊂ ˜
M
⊂ ˜
M . On a
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ) = Ind
˜
M
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ )
.
Utilisons la formule de descente du lemme 5.4(iv) de [81]. On obtient
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ
, f) =
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)J
˜
L
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,ω ),
où ˜
Q ∈ P( ˜
L) est déterminé par le choix d’un paramètre auxiliaire. Cela transforme
(1) en
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
=
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)J ( ˜
L),
où
J ( ˜
L) =
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,ω
e
− ˜
λ,X dλ.