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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
section envoie A
∨
˜
M,F
dans ˜
A
∨
˜
M,F
. Fixons une telle section. Sous la condition (2),
on a l’égalité ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X = ϕ(λ)e
−−λ,X .
VIII.1.3 L’application
c φ ˜
M
Fixons un espace de Levi minimal ˜
M 0 et un sous-groupe compact spécial K de
G(F ) en bonne position relativement à M 0 . Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ).
Pour une ω-représentation ˜
π de ˜
M (F ) et pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
, on sait
définir la représentation ˜
π ˜
λ : on a ˜
π ˜
λ (x) = e ˜
λ, ˜
H ˜
M (x) ˜
π(x) pour tout x ∈ ˜
M (F ).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )), la fonction ˜
λ → trace(˜ π ˜
λ (f )) est polynomiale
sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
.
On a défini en [81] 2.9 l’espace D temp ( ˜
M (F ), ω) engendré par les caractères
de ω-représentations tempérées de ˜
M (F ).
Remarque. On considère ici les caractères comme des distributions, c’est-à-dire
des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
M (F )). Ils dépendent donc des mesures. Vus comme
fonctions localement intégrables, les caractères vivent dans D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . On note I
˜
M (˜ π, .) l’élément de D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ associé à une ω-représentation ˜
π.
On a défini en [81] 2.12 le sous-espace D ell ( ˜
M (F ), ω) engendré par les caractères de représentations elliptiques. L’induction fournit un isomorphisme
D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
= ⊕ ˜
R∈L
˜
M ( ˜
M0)/W M ( ˜
M0) Ind
˜
M
˜
R (D ell ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ )
W
M ( ˜
R) .
Soient ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), ˜
π une ω-représentation elliptique de ˜
R(F ) et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Pour X ∈ ˜
A ˜
R,F , la fonction
λ → J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f )e
− ˜
λ,X
définie en [81] 2.7 est rationnelle sur A
∗
˜
R,C
/iA
∨
˜
R,F
. Elle a un nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
R ).
Ces hyperplans ne dépendent pas de X comme on l’a dit en 1.2. Ils ne dépendent pas non plus de f , au sens qu’il existe une famille finie d’hyperplans de
la forme indiquée de sorte que, pour tout f , les hyperplans polaires de la fonction
ci-dessus appartiennent à cette famille. Soit ˜
S ∈ P
˜
G ( ˜
R). Fixons un point ν ˜
S ∈ A
∗
˜
R
tel que ν ˜
S , ˇ
α soit assez grand pour tout α ∈ Σ
˜
S ( ˜
R). Alors l’intégrale
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f )e
− ˜
λ,X dλ
ne dépend pas du choix de ν ˜
S .
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
section envoie A
∨
˜
M,F
dans ˜
A
∨
˜
M,F
. Fixons une telle section. Sous la condition (2),
on a l’égalité ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X = ϕ(λ)e
−−λ,X .
VIII.1.3 L’application
c φ ˜
M
Fixons un espace de Levi minimal ˜
M 0 et un sous-groupe compact spécial K de
G(F ) en bonne position relativement à M 0 . Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ).
Pour une ω-représentation ˜
π de ˜
M (F ) et pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
, on sait
définir la représentation ˜
π ˜
λ : on a ˜
π ˜
λ (x) = e ˜
λ, ˜
H ˜
M (x) ˜
π(x) pour tout x ∈ ˜
M (F ).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )), la fonction ˜
λ → trace(˜ π ˜
λ (f )) est polynomiale
sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
.
On a défini en [81] 2.9 l’espace D temp ( ˜
M (F ), ω) engendré par les caractères
de ω-représentations tempérées de ˜
M (F ).
Remarque. On considère ici les caractères comme des distributions, c’est-à-dire
des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
M (F )). Ils dépendent donc des mesures. Vus comme
fonctions localement intégrables, les caractères vivent dans D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . On note I
˜
M (˜ π, .) l’élément de D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ associé à une ω-représentation ˜
π.
On a défini en [81] 2.12 le sous-espace D ell ( ˜
M (F ), ω) engendré par les caractères de représentations elliptiques. L’induction fournit un isomorphisme
D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
= ⊕ ˜
R∈L
˜
M ( ˜
M0)/W M ( ˜
M0) Ind
˜
M
˜
R (D ell ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ )
W
M ( ˜
R) .
Soient ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), ˜
π une ω-représentation elliptique de ˜
R(F ) et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Pour X ∈ ˜
A ˜
R,F , la fonction
λ → J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f )e
− ˜
λ,X
définie en [81] 2.7 est rationnelle sur A
∗
˜
R,C
/iA
∨
˜
R,F
. Elle a un nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
R ).
Ces hyperplans ne dépendent pas de X comme on l’a dit en 1.2. Ils ne dépendent pas non plus de f , au sens qu’il existe une famille finie d’hyperplans de
la forme indiquée de sorte que, pour tout f , les hyperplans polaires de la fonction
ci-dessus appartiennent à cette famille. Soit ˜
S ∈ P
˜
G ( ˜
R). Fixons un point ν ˜
S ∈ A
∗
˜
R
tel que ν ˜
S , ˇ
α soit assez grand pour tout α ∈ Σ
˜
S ( ˜
R). Alors l’intégrale
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f )e
− ˜
λ,X dλ
ne dépend pas du choix de ν ˜
S .