VIII.1. L’application
c θ ˜
M
937
Remarque. La condition ˇ
α i ∈ A ˜
M,F est nécessaire pour que la fonction λ → e
λ, ˇ
αi
soit invariante par iA
∨
˜
M,F
. Évidemment, cette fonction dépend de la normalisation
choisie.
On note ˜
A
∗
˜
M
l’espace des formes linéaires affines sur l’espace réel ˜
A ˜
M . On a
donc une suite exacte
0 → R → ˜
A
∗
˜
M
→ A
∗
˜
M
→ 0.
On ajoute un indice C pour désigner les complexifiés. On a une suite exacte analogue
(1)
0 → C → ˜
A
∗
˜
M,C
→ A
∗
˜
M,C
→ 0.
On note ˜
A
∨
˜
M,F
le sous-groupe des ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M
tels que
˜
λ, X
∈ 2πZ pour tout
X ∈ ˜
A ˜
M,F . On a une suite exacte
0 → 2πZ → ˜
A
∨
˜
M,F
→ A
∨
˜
M,F
→ 0.
On note usuellement ˜
λ un élément de ˜
A
∗
˜
M,C
et λ sa projection dans A
∗
˜
M,C
. Considérons une fonction ϕ : ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
→ C. Pour X ∈ ˜
A ˜
M,F , considérons les
conditions
(2) le produit ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X ne dépend que de la projection λ.
Ce produit ne dépend alors que de la projection de λ dans A
∗
˜
M,C
/iA
∨
˜
M,F
. On note
λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X la fonction obtenue sur cet ensemble.
(3) Sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est polynomiale ;
(4) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est rationnelle ;
(5) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est rationnelle et n’a qu’un
nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour
α ∈ Σ(A ˜
M )
Pour un autre point X
∈ ˜
A ˜
M,F , la fonction ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X
est le produit de
ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X et du polynôme e λ,X−X
. Il en résulte que les conditions (2), (3), (4)
et (5) ne dépendent pas du choix de X. Plus précisément, sous la condition (5), les
hyperplans polaires ne dépendent pas de ce choix. Si ϕ vérifie (2) et (3), resp. et
(4), resp. et (5), nous dirons simplement que ϕ est polynomiale sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
,
resp. est rationnelle, resp. est rationnelle et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans
polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
M ).
Une variante de la propriété (2) vaut aussi pour des fonctions ϕ définies sur
le sous-ensemble i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
.
On peut scinder la suite exacte (1) en fixant un point X 0 ∈ ˜
A ˜
M,F et en
relevant tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
en l’unique relèvement ˜
λ tel que ˜
λ(X 0 ) = 0. Une telle
c θ ˜
M
937
Remarque. La condition ˇ
α i ∈ A ˜
M,F est nécessaire pour que la fonction λ → e
λ, ˇ
αi
soit invariante par iA
∨
˜
M,F
. Évidemment, cette fonction dépend de la normalisation
choisie.
On note ˜
A
∗
˜
M
l’espace des formes linéaires affines sur l’espace réel ˜
A ˜
M . On a
donc une suite exacte
0 → R → ˜
A
∗
˜
M
→ A
∗
˜
M
→ 0.
On ajoute un indice C pour désigner les complexifiés. On a une suite exacte analogue
(1)
0 → C → ˜
A
∗
˜
M,C
→ A
∗
˜
M,C
→ 0.
On note ˜
A
∨
˜
M,F
le sous-groupe des ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M
tels que
˜
λ, X
∈ 2πZ pour tout
X ∈ ˜
A ˜
M,F . On a une suite exacte
0 → 2πZ → ˜
A
∨
˜
M,F
→ A
∨
˜
M,F
→ 0.
On note usuellement ˜
λ un élément de ˜
A
∗
˜
M,C
et λ sa projection dans A
∗
˜
M,C
. Considérons une fonction ϕ : ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
→ C. Pour X ∈ ˜
A ˜
M,F , considérons les
conditions
(2) le produit ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X ne dépend que de la projection λ.
Ce produit ne dépend alors que de la projection de λ dans A
∗
˜
M,C
/iA
∨
˜
M,F
. On note
λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X la fonction obtenue sur cet ensemble.
(3) Sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est polynomiale ;
(4) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est rationnelle ;
(5) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X est rationnelle et n’a qu’un
nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour
α ∈ Σ(A ˜
M )
Pour un autre point X
∈ ˜
A ˜
M,F , la fonction ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X
est le produit de
ϕ( ˜
λ)e
− ˜
λ,X et du polynôme e λ,X−X
. Il en résulte que les conditions (2), (3), (4)
et (5) ne dépendent pas du choix de X. Plus précisément, sous la condition (5), les
hyperplans polaires ne dépendent pas de ce choix. Si ϕ vérifie (2) et (3), resp. et
(4), resp. et (5), nous dirons simplement que ϕ est polynomiale sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
,
resp. est rationnelle, resp. est rationnelle et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans
polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
M ).
Une variante de la propriété (2) vaut aussi pour des fonctions ϕ définies sur
le sous-ensemble i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
.
On peut scinder la suite exacte (1) en fixant un point X 0 ∈ ˜
A ˜
M,F et en
relevant tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
en l’unique relèvement ˜
λ tel que ˜
λ(X 0 ) = 0. Une telle