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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Fixons un ensemble L de représentants des classes de conjugaison par G(F ) d’espaces de Levi. Pour ˜
M ∈ L et ˜
P ∈ P( ˜
M ), on peut remplacer la fonction ω ˜
P par
la fonction
X → |W ( ˜
M )|
−1
w∈W ( ˜
M )
ω w ˜
P (wX).
Les nouvelles fonctions vérifient encore (1) et (2) et de plus ω w ˜
P (wX) = ω ˜
P (X)
pour tout ˜
P , tout X et tout w ∈ W ( ˜
M ). Pour ˜
M
quelconque, soit ˜
M l’unique
élément de L qui est conjugué à ˜
M
et fixons x ∈ G(F ) tel que ad x ( ˜
M ) = ˜
M
.
Pour ˜
P
∈ P( ˜
M
), on définit ω ˜
P par ω ˜
P (X
) = ω ad −1
x ( ˜
P ) (ad x −1 (X
)). Cela ne
dépend pas du choix de x et le système de fonctions obtenu vérifie (4).
Enfin, on peut faire varier le groupe ambiant ˜
G. On suppose des fonctions
ω ˜
P fixées comme ci-dessus. Soient ˜
L un espace de Levi de ˜
G et ˜
M un espace de
Levi de ˜
L. Il y a une application naturelle
P
˜
G ( ˜
M ) → P
˜
L ( ˜
M )
˜
P
→ ˜
P ∩ ˜
L.
Pour ˜
P
∈ P
˜
L ( ˜
M ), on pose
(5)
ω ˜
P =
˜
P
ω ˜
P ,
où l’on somme sur les ˜
P ∈ P( ˜
M ) tels que ˜
P ∩ ˜
L = ˜
P
. Ces fonctions vérifient
encore les conditions (1), (2) et (4).
Des fonctions ω ˜
P vérifiant les conditions ci-dessus sont désormais fixées pour
tout le chapitre.
VIII.1.2 Fonctions rationnelles
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note A
∨
˜
M,F
le sous-groupe des λ ∈ A
∗
˜
M
tels que
λ, X ∈ 2πZ pour tout X ∈ A ˜
M,F . On pose A
∗
˜
M,F
= A
∗
˜
M
/A
∨
˜
M,F
. C’est un groupe
compact que l’on munit de la mesure de masse totale 1. Le quotient A
∗
˜
M,C
/iA
∨
˜
M,F
s’identifie à un tore complexe, ce qui permet de parler de fonctions polynomiales ou
rationnelles sur ce quotient. Considérons une telle fonction rationnelle ϕ. Supposons qu’il existe une famille finie (ˇ α i , c i ) i=1,...,n vérifiant les conditions suivantes :
– pour tout i = 1, . . . , n, c i est un nombre complexe et ˇ
α i est une coracine
associée à une racine α i ∈ Σ(A ˜
M ), normalisée de sorte que ˇ
α i ∈ A ˜
M,F ;
– la fonction λ → ϕ(λ)
i=1,...,n (e
λ, ˇ
αi
− c i ) est polynomiale.
A cette condition, nous dirons que ϕ n’a qu’un nombre fini d’hyperplans
polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
M ).
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Fixons un ensemble L de représentants des classes de conjugaison par G(F ) d’espaces de Levi. Pour ˜
M ∈ L et ˜
P ∈ P( ˜
M ), on peut remplacer la fonction ω ˜
P par
la fonction
X → |W ( ˜
M )|
−1
w∈W ( ˜
M )
ω w ˜
P (wX).
Les nouvelles fonctions vérifient encore (1) et (2) et de plus ω w ˜
P (wX) = ω ˜
P (X)
pour tout ˜
P , tout X et tout w ∈ W ( ˜
M ). Pour ˜
M
quelconque, soit ˜
M l’unique
élément de L qui est conjugué à ˜
M
et fixons x ∈ G(F ) tel que ad x ( ˜
M ) = ˜
M
.
Pour ˜
P
∈ P( ˜
M
), on définit ω ˜
P par ω ˜
P (X
) = ω ad −1
x ( ˜
P ) (ad x −1 (X
)). Cela ne
dépend pas du choix de x et le système de fonctions obtenu vérifie (4).
Enfin, on peut faire varier le groupe ambiant ˜
G. On suppose des fonctions
ω ˜
P fixées comme ci-dessus. Soient ˜
L un espace de Levi de ˜
G et ˜
M un espace de
Levi de ˜
L. Il y a une application naturelle
P
˜
G ( ˜
M ) → P
˜
L ( ˜
M )
˜
P
→ ˜
P ∩ ˜
L.
Pour ˜
P
∈ P
˜
L ( ˜
M ), on pose
(5)
ω ˜
P =
˜
P
ω ˜
P ,
où l’on somme sur les ˜
P ∈ P( ˜
M ) tels que ˜
P ∩ ˜
L = ˜
P
. Ces fonctions vérifient
encore les conditions (1), (2) et (4).
Des fonctions ω ˜
P vérifiant les conditions ci-dessus sont désormais fixées pour
tout le chapitre.
VIII.1.2 Fonctions rationnelles
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note A
∨
˜
M,F
le sous-groupe des λ ∈ A
∗
˜
M
tels que
λ, X ∈ 2πZ pour tout X ∈ A ˜
M,F . On pose A
∗
˜
M,F
= A
∗
˜
M
/A
∨
˜
M,F
. C’est un groupe
compact que l’on munit de la mesure de masse totale 1. Le quotient A
∗
˜
M,C
/iA
∨
˜
M,F
s’identifie à un tore complexe, ce qui permet de parler de fonctions polynomiales ou
rationnelles sur ce quotient. Considérons une telle fonction rationnelle ϕ. Supposons qu’il existe une famille finie (ˇ α i , c i ) i=1,...,n vérifiant les conditions suivantes :
– pour tout i = 1, . . . , n, c i est un nombre complexe et ˇ
α i est une coracine
associée à une racine α i ∈ Σ(A ˜
M ), normalisée de sorte que ˇ
α i ∈ A ˜
M,F ;
– la fonction λ → ϕ(λ)
i=1,...,n (e
λ, ˇ
αi
− c i ) est polynomiale.
A cette condition, nous dirons que ϕ n’a qu’un nombre fini d’hyperplans
polaires d’équations de la forme e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
M ).