VIII.1. L’application
c θ ˜
M
935
VIII.1 L’application
c θ ˜
M
VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non archimédien et de caractéristique nulle. On considère un triplet (G, ˜
G, a) défini sur F . On suppose que le
caractère ω associé à a est unitaire.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note Σ(A ˜
M ) l’ensemble des racines de
A ˜
M dans G. Un élément α ∈ Σ(A ˜
M ) peut être considéré comme un élément de
A
∗
˜
M
. Il lui est associé une coracine ˇ
α ∈ A ˜
M . Sa définition précise est un peu
arbitraire, l’ensemble Σ(A ˜
M ) n’étant pas en général un système de racines au sens
de Bourbaki. Toutefois, la demi-droite portée par ˇ
α est définie sans ambiguïté et
c’est la seule chose qui nous importera. Tout sous-espace parabolique ˜
P ∈ P( ˜
M )
détermine un sous-ensemble positif dans Σ(A ˜
M ) que l’on note Σ
˜
P (A ˜
M ). On en
déduit des chambres positives
A
+
˜
P
= {X ∈ A ˜
M ; α, X > 0 ∀α ∈ Σ
˜
P (A ˜
M )},
A
∗,+
˜
P
= {μ ∈ A
∗
˜
M
; μ, ˇ
α > 0 ∀α ∈ Σ
˜
P (A ˜
M )}.
Quand ˜
P décrit P( ˜
M ), les ensembles A
+
˜
P
décrivent les composantes connexes de
A ˜
M privé des hyperplans annulés par les racines α ∈ Σ(A ˜
M ).
Dans notre situation tordue, il y a un espace affine ˜
A ˜
M sur A ˜
M . Rappelons
sa définition. On note M (F )
1 le noyau de l’application H ˜
M : M (F ) → A ˜
M et
A ˜
M,F son image. Notons ˜
A ˜
M,F le quotient M (F )
1
\ ˜
M (F ). Le groupe A ˜
M,F agit
par translations sur ce quotient et celui-ci est un espace principal homogène sous
cette action. On pose ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M,F × A ˜
M,F
A ˜
M . On note ˜
H ˜
M : ˜
M (F ) → ˜
A ˜
M
l’application naturelle.
Pour tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), on fixe une fonction ω ˜
P : ˜
A ˜
M → [0, 1], soumise aux
conditions suivantes :
(1) il existe X ˜
P ∈ ˜
A ˜
M tel que le support de ω ˜
P soit contenu dans X ˜
P + A
+
˜
P
;
(2)
˜
P ∈P( ˜
M) ω ˜
P (X) = 1 pour tout X ∈ ˜
A ˜
M .
De telles fonctions existent. Remarquons que ces deux conditions impliquent
(3) il existe Y ˜
P ∈ ˜
A ˜
M tel que ω ˜
P vaille 1 sur Y ˜
P + A
+
˜
P
.
Les fonctions ω ˜
P sont fixées pour tout espace de Levi ˜
M . On leur impose la
condition (4) suivante. Soit x ∈ ˜
G(F ). L’automorphisme ad x induit un isomorphisme ˜
A ˜
M → ˜
A adx( ˜
M) . Alors
(4) pour tout ˜
P ∈ P( ˜
M ) et tout X ∈ ˜
A ˜
M , ω adx( ˜
P ) (ad x (X)) = ω ˜
P (X).
C’est possible.
En effet, pour tout espace de Levi ˜
M , posons W ( ˜
M ) = Norm G(F ) ( ˜
M )/M (F ).
Ce groupe agit sur P( ˜
M ), sur A ˜
M en permutant les chambres A
+
˜
P
et sur ˜
A ˜
M,F .
c θ ˜
M
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VIII.1 L’application
c θ ˜
M
VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non archimédien et de caractéristique nulle. On considère un triplet (G, ˜
G, a) défini sur F . On suppose que le
caractère ω associé à a est unitaire.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note Σ(A ˜
M ) l’ensemble des racines de
A ˜
M dans G. Un élément α ∈ Σ(A ˜
M ) peut être considéré comme un élément de
A
∗
˜
M
. Il lui est associé une coracine ˇ
α ∈ A ˜
M . Sa définition précise est un peu
arbitraire, l’ensemble Σ(A ˜
M ) n’étant pas en général un système de racines au sens
de Bourbaki. Toutefois, la demi-droite portée par ˇ
α est définie sans ambiguïté et
c’est la seule chose qui nous importera. Tout sous-espace parabolique ˜
P ∈ P( ˜
M )
détermine un sous-ensemble positif dans Σ(A ˜
M ) que l’on note Σ
˜
P (A ˜
M ). On en
déduit des chambres positives
A
+
˜
P
= {X ∈ A ˜
M ; α, X > 0 ∀α ∈ Σ
˜
P (A ˜
M )},
A
∗,+
˜
P
= {μ ∈ A
∗
˜
M
; μ, ˇ
α > 0 ∀α ∈ Σ
˜
P (A ˜
M )}.
Quand ˜
P décrit P( ˜
M ), les ensembles A
+
˜
P
décrivent les composantes connexes de
A ˜
M privé des hyperplans annulés par les racines α ∈ Σ(A ˜
M ).
Dans notre situation tordue, il y a un espace affine ˜
A ˜
M sur A ˜
M . Rappelons
sa définition. On note M (F )
1 le noyau de l’application H ˜
M : M (F ) → A ˜
M et
A ˜
M,F son image. Notons ˜
A ˜
M,F le quotient M (F )
1
\ ˜
M (F ). Le groupe A ˜
M,F agit
par translations sur ce quotient et celui-ci est un espace principal homogène sous
cette action. On pose ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M,F × A ˜
M,F
A ˜
M . On note ˜
H ˜
M : ˜
M (F ) → ˜
A ˜
M
l’application naturelle.
Pour tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), on fixe une fonction ω ˜
P : ˜
A ˜
M → [0, 1], soumise aux
conditions suivantes :
(1) il existe X ˜
P ∈ ˜
A ˜
M tel que le support de ω ˜
P soit contenu dans X ˜
P + A
+
˜
P
;
(2)
˜
P ∈P( ˜
M) ω ˜
P (X) = 1 pour tout X ∈ ˜
A ˜
M .
De telles fonctions existent. Remarquons que ces deux conditions impliquent
(3) il existe Y ˜
P ∈ ˜
A ˜
M tel que ω ˜
P vaille 1 sur Y ˜
P + A
+
˜
P
.
Les fonctions ω ˜
P sont fixées pour tout espace de Levi ˜
M . On leur impose la
condition (4) suivante. Soit x ∈ ˜
G(F ). L’automorphisme ad x induit un isomorphisme ˜
A ˜
M → ˜
A adx( ˜
M) . Alors
(4) pour tout ˜
P ∈ P( ˜
M ) et tout X ∈ ˜
A ˜
M , ω adx( ˜
P ) (ad x (X)) = ω ˜
P (X).
C’est possible.
En effet, pour tout espace de Levi ˜
M , posons W ( ˜
M ) = Norm G(F ) ( ˜
M )/M (F ).
Ce groupe agit sur P( ˜
M ), sur A ˜
M en permutant les chambres A
+
˜
P
et sur ˜
A ˜
M,F .