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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
La suite de la démonstration (cf. [X] 7.7) consistera à appliquer la formule des
traces dans ˜
M à cette fonction ˜
M (f ) et à en déduire que celle-ci est nulle. Cela
démontrera le théorème principal. Au point où nous en sommes, nous pouvons
seulement prouver l’existence d’une telle fonction ˜
M (f ). Nous ne pouvons même
pas prouver que l’on peut la choisir localement constante et à support compact.
Nous prouvons toutefois qu’on peut lui imposer les deux conditions
– il existe un sous-groupe ouvert compact de M (F ) tel que ˜
M (f ) soit biinvariante par ce sous-groupe ;
– la restriction de ˜
M (f ) à toute fibre de l’application usuelle ˜
H ˜
M : ˜
M (F ) →
˜
A ˜
M (cf. 1.1) est à support compact.
Ces conditions suffisent pour définir les intégrales orbitales I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )).
En fait, nous démontrons plus que la seconde propriété ci-dessus : la fonction
˜
M (f ) est de Schwartz. Nous définissons en 1.7 ce que nous entendons par là (on
trouve dans la littérature d’autres définitions des fonctions de Schwartz, qui ne
coïncident sans doute pas avec la nôtre).
Il y a une restriction à notre résultat. Pour certains triplets (G, ˜
G, a), on
impose que les intégrales orbitales ordinaires de f (ω-équivariantes) sont nulles en
tout point de la réunion d’un certain ensemble fini de classes de conjugaison (cf.
4.4 pour un énoncé précis).
Notre résultat est l’exact analogue dans le cas tordu de la proposition 3.1 de
[20], dont nous reprenons la preuve. En utilisant les résultats sur les germes de
Shalika prouvés en [II] et [III], il est assez bref de démontrer que, pour tout élément
semi-simple η ∈ ˜
M (F ), il existe une fonction ˜
M (f ) lisse et à support compact de
sorte que (1) soit vérifié pour γ au voisinage de η. On a envie ensuite de recoller
les fonctions ainsi construites en utilisant une partition de l’unité. Mais on ne peut
contrôler ni l’uniforme lissité de la fonction ainsi construite, ni sa croissance à l’infini. On a besoin d’une deuxième construction qui, elle, nous fournit une fonction
˜
M (f ) qui a les bonnes propriétés de lissité et de croissance et qui vérifie l’égalité
(1), cette fois pour γ hors d’un certain compact. On arrive à bon port en utilisant
à la fois les deux constructions. Cette deuxième construction utilise des variantes
des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes, que l’on note
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) en
suivant comme toujours Arthur. La magnifique propriété de ces termes est que,
pour f fixée, ils sont à support compact en γ, modulo conjugaison. On doit d’abord
définir et étudier ces termes, ainsi que certaines applications nécessaires à leur définition. C’est l’objet de la section 1. On doit ensuite les stabiliser (section 2) et
en définir des avatars endoscopiques (section 3). La définition de l’application ˜
M
et la preuve de ses propriétés est donnée dans la dernière section.
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
La suite de la démonstration (cf. [X] 7.7) consistera à appliquer la formule des
traces dans ˜
M à cette fonction ˜
M (f ) et à en déduire que celle-ci est nulle. Cela
démontrera le théorème principal. Au point où nous en sommes, nous pouvons
seulement prouver l’existence d’une telle fonction ˜
M (f ). Nous ne pouvons même
pas prouver que l’on peut la choisir localement constante et à support compact.
Nous prouvons toutefois qu’on peut lui imposer les deux conditions
– il existe un sous-groupe ouvert compact de M (F ) tel que ˜
M (f ) soit biinvariante par ce sous-groupe ;
– la restriction de ˜
M (f ) à toute fibre de l’application usuelle ˜
H ˜
M : ˜
M (F ) →
˜
A ˜
M (cf. 1.1) est à support compact.
Ces conditions suffisent pour définir les intégrales orbitales I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )).
En fait, nous démontrons plus que la seconde propriété ci-dessus : la fonction
˜
M (f ) est de Schwartz. Nous définissons en 1.7 ce que nous entendons par là (on
trouve dans la littérature d’autres définitions des fonctions de Schwartz, qui ne
coïncident sans doute pas avec la nôtre).
Il y a une restriction à notre résultat. Pour certains triplets (G, ˜
G, a), on
impose que les intégrales orbitales ordinaires de f (ω-équivariantes) sont nulles en
tout point de la réunion d’un certain ensemble fini de classes de conjugaison (cf.
4.4 pour un énoncé précis).
Notre résultat est l’exact analogue dans le cas tordu de la proposition 3.1 de
[20], dont nous reprenons la preuve. En utilisant les résultats sur les germes de
Shalika prouvés en [II] et [III], il est assez bref de démontrer que, pour tout élément
semi-simple η ∈ ˜
M (F ), il existe une fonction ˜
M (f ) lisse et à support compact de
sorte que (1) soit vérifié pour γ au voisinage de η. On a envie ensuite de recoller
les fonctions ainsi construites en utilisant une partition de l’unité. Mais on ne peut
contrôler ni l’uniforme lissité de la fonction ainsi construite, ni sa croissance à l’infini. On a besoin d’une deuxième construction qui, elle, nous fournit une fonction
˜
M (f ) qui a les bonnes propriétés de lissité et de croissance et qui vérifie l’égalité
(1), cette fois pour γ hors d’un certain compact. On arrive à bon port en utilisant
à la fois les deux constructions. Cette deuxième construction utilise des variantes
des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes, que l’on note
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) en
suivant comme toujours Arthur. La magnifique propriété de ces termes est que,
pour f fixée, ils sont à support compact en γ, modulo conjugaison. On doit d’abord
définir et étudier ces termes, ainsi que certaines applications nécessaires à leur définition. C’est l’objet de la section 1. On doit ensuite les stabiliser (section 2) et
en définir des avatars endoscopiques (section 3). La définition de l’application ˜
M
et la preuve de ses propriétés est donnée dans la dernière section.