Chapitre VIII
L’application ˜
M sur un corps de base
local non-archimédien
Introduction
Dans les chapitres précédents, nous avons énoncé les théorèmes qui conduisent
à la stabilisation de la partie géométrique de la formule des traces tordue. Le
théorème clé est local. Rappelons-le très sommairement. Le corps de base F est
local de caractéristique nulle. On considère un groupe réductif connexe G défini
sur F , un espace tordu ˜
G sous G et une classe de cocycle a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
auquel est associé un caractère ω de G(F ), supposé unitaire. Soit ˜
M un espace
de Levi de ˜
G. Pour un élément γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans ˜
G(F )
et pour une fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ωéquivariante I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) (la définition exacte nécessite d’introduire des mesures
dont nous ne tenons pas compte dans cette introduction). Dans le chapitre [II],
nous avons défini un avatar endoscopique de ce terme, que l’on note I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ).
Le théorème principal affirme que, pour tous γ et f comme ci-dessus, on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
Nous supposons ici que F est non-archimédien. Sous cette hypothèse, nous
effectuons le premier pas dans la démonstration du théorème. Il consiste à prouver
que pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe une fonction ˜
M (f ) sur ˜
M (F ) vérifiant la
condition suivante. Pour tout élément γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans
˜
G(F ), la différence entre les deux termes dont nous voulons prouver l’égalité est
égale à l’intégrale orbitale de ˜
M (f ) au point γ. Cette dernière est une intégrale
orbitale sur ˜
M (F ), non pondérée, mais tenant évidemment compte du caractère
ω. Autrement dit
(1)
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_
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L’application ˜
M sur un corps de base
local non-archimédien
Introduction
Dans les chapitres précédents, nous avons énoncé les théorèmes qui conduisent
à la stabilisation de la partie géométrique de la formule des traces tordue. Le
théorème clé est local. Rappelons-le très sommairement. Le corps de base F est
local de caractéristique nulle. On considère un groupe réductif connexe G défini
sur F , un espace tordu ˜
G sous G et une classe de cocycle a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
auquel est associé un caractère ω de G(F ), supposé unitaire. Soit ˜
M un espace
de Levi de ˜
G. Pour un élément γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans ˜
G(F )
et pour une fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ωéquivariante I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) (la définition exacte nécessite d’introduire des mesures
dont nous ne tenons pas compte dans cette introduction). Dans le chapitre [II],
nous avons défini un avatar endoscopique de ce terme, que l’on note I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ).
Le théorème principal affirme que, pour tous γ et f comme ci-dessus, on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
Nous supposons ici que F est non-archimédien. Sous cette hypothèse, nous
effectuons le premier pas dans la démonstration du théorème. Il consiste à prouver
que pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe une fonction ˜
M (f ) sur ˜
M (F ) vérifiant la
condition suivante. Pour tout élément γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans
˜
G(F ), la différence entre les deux termes dont nous voulons prouver l’égalité est
égale à l’intégrale orbitale de ˜
M (f ) au point γ. Cette dernière est une intégrale
orbitale sur ˜
M (F ), non pondérée, mais tenant évidemment compte du caractère
ω. Autrement dit
(1)
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_
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