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Chapitre VII. Descente globale
f 2 = f ,sc avec les notations de 5.8 et 5.9. On a f 1 ∈ SI(G 1 (F V )), f 2 ∈ SI(G 2 (F V ))
et les fonctions f 1 ◦ exp et f 2 ◦ exp définies au voisinage de 0 dans les algèbres de
Lie se correspondent par endoscopie non standard. On ne connaît pas l’égalité (1)
mais on peut en tout cas écrire
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|
S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ) + X(f )
,
où
(2)
X(f ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f 2 ) − S
G1 (SA
G1
unip (V ), f 1 ).
Pour toutes les données H sauf la donnée maximale de ¯
G, le calcul de 5.9 est
donc valable. Pour la donnée maximale, la formule 5.9(2) doit être corrigée : on
ajoute au membre de droite le terme X(f ) multiplié par une constante. Il est facile
de calculer celle-ci : c’est C( ˜
G). Le calcul se poursuit et on obtient finalement non
pas l’égalité 8.4(1), mais l’égalité
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G ), f) = I
˜
G (A
˜
G (V, X ), f) + C( ˜
G)X(f ).
Comme on l’a dit ci-dessus, le membre de gauche est égal à I
˜
G (A
˜
G,E (V, X ), f).
D’après nos hypothèses de récurrence, le théorème [VI] 5.4 est connu pour (G, ˜
G).
Comme on l’a vu en 3.6, l’égalité du théorème 3.3 est donc vérifiée. Cela entraîne
l’égalité
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G ), f) = I
˜
G (A
˜
G (V, X ), f).
Il en résulte que X(f ) = 0. Le même raisonnement qu’en [III] 7.7 montre que, pour
tout ϕ ∈ SI(G 1 (F V )), il existe f tel que f 1 coïncide avec ϕ au voisinage de l’unité.
L’égalité X(f ) = 0 pour tout f entraîne donc l’égalité voulue j ∗ (SA
G1
unip (V )) =
SA
G2
unip (V ). Cela prouve le théorème 9.1.