VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6
931
où Sk
M2
,U = c
G1,G2
M1,M2 j ∗ (Sk
M1
,U ) et SA
M2
,V = j ∗ (SA
M1
,V ). De ces égalités et de la proposition 9.4 se déduisent les deux égalités
(SA
M2
,V )
G2 = j ∗ ((SA
M1
,V )
G1 ), s
G1
M2,U (Sk
M2
,U ) = s
G1
M1,U (Sk
M1
,U ).
Le terme SA
G2 (V ) est calculé par une égalité similaire à (2). En utilisant les
égalités ci-dessus, on voit que le terme de droite de cette égalité est égal à l’image
par j ∗ de celui de (2). D’où l’égalité SA
G2 (V ) = j ∗ (SA
G1 (V )).
VII.9.7 Preuve du théorème 9.1
En [III] 6.2, on a attaché à notre triplet endoscopique non standard un triplet
particulier (G, ˜
G, ω). En fait ω = 1 et on le supprime des notations. On considère
ce triplet et on fixe un élément X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )), cf. 3.3. Le lemme 9.6
nous autorise à agrandir l’ensemble de places V . On peut donc supposer que
V contient S(X , ˜
K). On reprend maintenant la démonstration des sections 5 à
8 qui calcule la distribution A
˜
G,E (V, X ). On a une première simplification car
l’ensemble Fib(X ) de 5.1 est réduit à un élément. En effet, comme on l’a dit en
3.3, X correspond à un élément de Z( ˜
G)
ΓF . Notons μ son image naturelle dans
(T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z( ˜
G). L’unique élément de Fib(X ) est (μ, 1). L’assertion du
théorème 3.3 est donc équivalente à celle de la proposition 5.1. Comme on l’a noté
en [III] 7.7, le groupe ¯
G associé à (μ, 1) comme en 1.1 est isomorphe au groupe
G 1 de notre triplet endoscopique non standard. En particulier, il est simplement
connexe.
La démonstration des sections 5 à 8 vaut jusqu’au point où on avait utilisé
le théorème [VI] 5.6, c’est-à-dire jusqu’en 5.9. Au début de ce paragraphe, on a
une donnée H ∈ E ˆ
T ad ,• ( ¯
G SC , V ) et un triplet (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Il s’en déduit
un triplet endoscopique non standard ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ). Si N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) <
dim(G SC ), nos hypothèses de récurrence nous permettent d’appliquer le théorème
[VI] 5.6 à ce triplet et on a encore l’égalité 5.9(1), c’est-à-dire
(1)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ).
Le lemme [III] 6.2 entraîne que l’on a en tout cas N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) ≤
dim(G SC ). Reste le cas où cette inégalité est une égalité. Dans ce cas, le lemme
cité entraîne que la donnée G
= (G
, G
, ˜
s) est équivalente à la donnée maximale
de (G, ˜
G). Puisque G
appartient à l’ensemble E ˆ
T ( ˜
G, V ) défini en 5.1, on voit facilement qu’il n’y a qu’une telle donnée : on peut supposer ˜
s = ˆ
θ et G
= ˆ
G
ˆ
θ
W F .
La donnée (μ
, ω ¯
G ) est elle-aussi unique : μ
est l’image naturelle de μ dans Z( ˜
G
)
et ω ¯
G = 1. Ces unicités impliquent celle de H : c’est la donnée maximale de ¯
G,
c’est-à-dire H = ( ¯
G,
L ¯
G, 1). Supposons ces conditions vérifiées. Alors le triplet
( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) est égal à notre triplet de départ (G 1 , G 2 , j ∗ ). Notons f 1 = ¯
f sc et
931
où Sk
M2
,U = c
G1,G2
M1,M2 j ∗ (Sk
M1
,U ) et SA
M2
,V = j ∗ (SA
M1
,V ). De ces égalités et de la proposition 9.4 se déduisent les deux égalités
(SA
M2
,V )
G2 = j ∗ ((SA
M1
,V )
G1 ), s
G1
M2,U (Sk
M2
,U ) = s
G1
M1,U (Sk
M1
,U ).
Le terme SA
G2 (V ) est calculé par une égalité similaire à (2). En utilisant les
égalités ci-dessus, on voit que le terme de droite de cette égalité est égal à l’image
par j ∗ de celui de (2). D’où l’égalité SA
G2 (V ) = j ∗ (SA
G1 (V )).
VII.9.7 Preuve du théorème 9.1
En [III] 6.2, on a attaché à notre triplet endoscopique non standard un triplet
particulier (G, ˜
G, ω). En fait ω = 1 et on le supprime des notations. On considère
ce triplet et on fixe un élément X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )), cf. 3.3. Le lemme 9.6
nous autorise à agrandir l’ensemble de places V . On peut donc supposer que
V contient S(X , ˜
K). On reprend maintenant la démonstration des sections 5 à
8 qui calcule la distribution A
˜
G,E (V, X ). On a une première simplification car
l’ensemble Fib(X ) de 5.1 est réduit à un élément. En effet, comme on l’a dit en
3.3, X correspond à un élément de Z( ˜
G)
ΓF . Notons μ son image naturelle dans
(T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z( ˜
G). L’unique élément de Fib(X ) est (μ, 1). L’assertion du
théorème 3.3 est donc équivalente à celle de la proposition 5.1. Comme on l’a noté
en [III] 7.7, le groupe ¯
G associé à (μ, 1) comme en 1.1 est isomorphe au groupe
G 1 de notre triplet endoscopique non standard. En particulier, il est simplement
connexe.
La démonstration des sections 5 à 8 vaut jusqu’au point où on avait utilisé
le théorème [VI] 5.6, c’est-à-dire jusqu’en 5.9. Au début de ce paragraphe, on a
une donnée H ∈ E ˆ
T ad ,• ( ¯
G SC , V ) et un triplet (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Il s’en déduit
un triplet endoscopique non standard ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ). Si N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) <
dim(G SC ), nos hypothèses de récurrence nous permettent d’appliquer le théorème
[VI] 5.6 à ce triplet et on a encore l’égalité 5.9(1), c’est-à-dire
(1)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ).
Le lemme [III] 6.2 entraîne que l’on a en tout cas N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) ≤
dim(G SC ). Reste le cas où cette inégalité est une égalité. Dans ce cas, le lemme
cité entraîne que la donnée G
= (G
, G
, ˜
s) est équivalente à la donnée maximale
de (G, ˜
G). Puisque G
appartient à l’ensemble E ˆ
T ( ˜
G, V ) défini en 5.1, on voit facilement qu’il n’y a qu’une telle donnée : on peut supposer ˜
s = ˆ
θ et G
= ˆ
G
ˆ
θ
W F .
La donnée (μ
, ω ¯
G ) est elle-aussi unique : μ
est l’image naturelle de μ dans Z( ˜
G
)
et ω ¯
G = 1. Ces unicités impliquent celle de H : c’est la donnée maximale de ¯
G,
c’est-à-dire H = ( ¯
G,
L ¯
G, 1). Supposons ces conditions vérifiées. Alors le triplet
( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) est égal à notre triplet de départ (G 1 , G 2 , j ∗ ). Notons f 1 = ¯
f sc et