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Chapitre VII. Descente globale
Modifions l’hypothèse sur n en supposant que nj ∗ (X ∗ (T 1 )) ⊂ X ∗ (T 2 ). On a
alors un homomorphisme ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF , comme on l’a dit en 9.4,
et aussi un homomorphisme ˆ j ∗,n : X ∗ (Z( ˆ
M 2 ))
ΓF
→ X ∗ (Z( ˆ
M 1 ))
ΓF . Le nombre
d’éléments du noyau de ˆ j n est égal à celui du conoyau de ˆ j ∗,n . La définition de 9.4
conduit donc à l’égalité
c
G1,G2
M1,M2 = n
−aM 2 | coker( ˆ j ∗,n )|.
Pour i = 1, 2, les groupes X ∗ (Z( ˆ
M i )) et X
∗ (M i ) sont isomorphes. L’homomorphisme ˆ j ∗,n s’identifie à un homomorphisme X
∗ (M 2 )
ΓF
→ X
∗ (M 1 )
ΓF dont on
déduit par dualité un homomorphisme A M1,Z → A M2,Z . On voit que ce dernier
n’est autre que nj ∗ . Il en résulte d’une part que n satisfait aussi l’hypothèse posée
avant l’égalité (2), d’autre part que le conoyau de ˆ j ∗,n a même nombre d’éléments
que celui du conoyau de l’homomorphisme nj ∗ : A M1,Z → A M2,Z . Donc c
G1,G2
M1,M2 est
lui-aussi égal au terme (2), ce qui prouve (1) et la proposition.
VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places
Lemme. Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V tel
que le théorème 9.1 soit vérifié pour cet ensemble S. Alors il l’est pour l’ensemble V .
Preuve. On peut supposer S = V . On pose U = S − V . Soit M 1 ∈ L(M 1,0 ).
Comme en 2.3(3), on peut écrire
(1)
SA
M1
unip (S) =
=1,...,nM 1
Sk
M1
,U ⊗ SA
M1
,V ,
avec des Sk
M1
,U ∈ D
st
unip (M 1 (F U )) et des SA
M1
,V ∈ D
st
unip (M 1 (F V )). En adaptant les
notations, la proposition 2.3(ii) implique
(2) SA
G1 (V ) =
M1∈L(M1,0)
|W
M1
||W
G1
|
−1
=1,...,nM 1
s
G1
M1,U (Sk
M1
,U )(SA
M1
,V )
G1 .
Pour tout M 1 ∈ L(M 1,0 ), notons M 2 ∈ L(M 2,0 ) le Levi correspondant. Si M 1 =
G 1 , la proposition 9.5 appliquée à l’ensemble S dit que
c
G1,G2
M1,M2 j ∗ (SA
M1
unip (S)) = SA
M2
unip (S).
Si M 1 = G 1 , la constante c
G1,G2
G1,G2 vaut 1 et l’égalité ci-dessus reste valable d’après
l’hypothèse de l’énoncé. On déduit alors de (1) l’égalité
SA
M2
unip (S) =
=1,...,nM 1
Sk
M2
,U ⊗ SA
M2
,V ,
Chapitre VII. Descente globale
Modifions l’hypothèse sur n en supposant que nj ∗ (X ∗ (T 1 )) ⊂ X ∗ (T 2 ). On a
alors un homomorphisme ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF , comme on l’a dit en 9.4,
et aussi un homomorphisme ˆ j ∗,n : X ∗ (Z( ˆ
M 2 ))
ΓF
→ X ∗ (Z( ˆ
M 1 ))
ΓF . Le nombre
d’éléments du noyau de ˆ j n est égal à celui du conoyau de ˆ j ∗,n . La définition de 9.4
conduit donc à l’égalité
c
G1,G2
M1,M2 = n
−aM 2 | coker( ˆ j ∗,n )|.
Pour i = 1, 2, les groupes X ∗ (Z( ˆ
M i )) et X
∗ (M i ) sont isomorphes. L’homomorphisme ˆ j ∗,n s’identifie à un homomorphisme X
∗ (M 2 )
ΓF
→ X
∗ (M 1 )
ΓF dont on
déduit par dualité un homomorphisme A M1,Z → A M2,Z . On voit que ce dernier
n’est autre que nj ∗ . Il en résulte d’une part que n satisfait aussi l’hypothèse posée
avant l’égalité (2), d’autre part que le conoyau de ˆ j ∗,n a même nombre d’éléments
que celui du conoyau de l’homomorphisme nj ∗ : A M1,Z → A M2,Z . Donc c
G1,G2
M1,M2 est
lui-aussi égal au terme (2), ce qui prouve (1) et la proposition.
VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places
Lemme. Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V tel
que le théorème 9.1 soit vérifié pour cet ensemble S. Alors il l’est pour l’ensemble V .
Preuve. On peut supposer S = V . On pose U = S − V . Soit M 1 ∈ L(M 1,0 ).
Comme en 2.3(3), on peut écrire
(1)
SA
M1
unip (S) =
=1,...,nM 1
Sk
M1
,U ⊗ SA
M1
,V ,
avec des Sk
M1
,U ∈ D
st
unip (M 1 (F U )) et des SA
M1
,V ∈ D
st
unip (M 1 (F V )). En adaptant les
notations, la proposition 2.3(ii) implique
(2) SA
G1 (V ) =
M1∈L(M1,0)
|W
M1
||W
G1
|
−1
=1,...,nM 1
s
G1
M1,U (Sk
M1
,U )(SA
M1
,V )
G1 .
Pour tout M 1 ∈ L(M 1,0 ), notons M 2 ∈ L(M 2,0 ) le Levi correspondant. Si M 1 =
G 1 , la proposition 9.5 appliquée à l’ensemble S dit que
c
G1,G2
M1,M2 j ∗ (SA
M1
unip (S)) = SA
M2
unip (S).
Si M 1 = G 1 , la constante c
G1,G2
G1,G2 vaut 1 et l’égalité ci-dessus reste valable d’après
l’hypothèse de l’énoncé. On déduit alors de (1) l’égalité
SA
M2
unip (S) =
=1,...,nM 1
Sk
M2
,U ⊗ SA
M2
,V ,