VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6
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Preuve. Comme en 9.3, de j ∗ se déduit un isomorphisme j ∗,sc tel que le triplet
(M 1,SC , M 2,SC , j ∗,sc ) soit endoscopique non standard. Puisqu’on suppose M 1 =
G 1 , nos hypothèses de récurrence habituelles nous permettent d’appliquer le théorème 9.1 à ce triplet. Donc
j ∗,sc (SA
M1,SC
unip (V )) = SA
M2,SC
unip (V ).
Pour i = 1, 2, on a l’égalité
τ
(M i )
−1 SA
Mi
unip (V ) = τ
(M i,SC )
−1 ι
∗
Mi,SC ,Mi (SA
Mi,SC
unip (V ))
d’après la proposition 4.6. Puisque ι
∗
M2,SC ,M2 ◦ j ∗,sc = j ∗ ◦ ι
∗
M1,SC ,M1 , on obtient
l’égalité
τ
(M 2 )τ
(M 1,SC )
τ (M 1 )τ (M 2,SC )
j ∗ (SA
M1
unip (V )) = SA
M2
unip (V ).
Il suffit de prouver l’égalité
(1)
τ
(M 2 )τ
(M 1,SC )
τ (M 1 )τ (M 2,SC )
= c
G1,G2
M1,M2 .
Pour i = 1, 2, M i,SC est simplement connexe. On a déjà dit plusieurs fois que cela
impliquait τ
(M i,SC ) = 1. Par définition (cf. 4.1), on a
τ
(M i ) = τ (M i ) covol(A Mi,Z )
−1
= |π 0 (Z( ˆ
M i )
ΓF )|| ker
1 (F ; Z( ˆ
M i ))|
−1 covol(A Mi,Z )
−1 .
Le groupe ˆ
M i est un Levi du groupe ˆ
G i qui est adjoint. Il en résulte que Z( ˆ
M i )
ΓF
est connexe. D’autre part, on a ker
1 (F ; Z( ˆ
M i )) ker
1 (F ; Z( ˆ
G i )) d’après le lemme
[VI] 6.1. Or Z( ˆ
G i ) = {1} parce que G i est simplement connexe. D’où τ
(M i ) =
covol(A Mi,Z )
−1 . Le membre de gauche de (1) est égal à
covol(A M1,Z ) covol(A M2,Z )
−1 .
Rappelons que l’on a un isomorphisme j ∗ = A M1 A M2 compatible aux mesures
sur ces espaces. Donc
covol(A M1,Z ) = vol(A M1 /A M1,Z ) = vol(A M2 /j ∗ (A M1,Z )).
On note covol(j ∗ (A M1,Z )) ce dernier volume. Les réseaux j ∗ (A M1,Z ) et A M2,Z sont
commensurables. Choisissons un entier n ≥ 1 tel que nj ∗ (A M1,Z ) ⊂ A M2,Z . Alors
covol(j ∗ (A M1,Z )) = n
−aM 2 covol(nj ∗ (A M1,Z ))
= n
−aM 2 [A M2,Z : nj ∗ (A M1,Z )] covol(A M2,Z ).
On en déduit que le membre de gauche de (1) est égal à
(2)
n
−aM 2 [A M2,Z : nj ∗ (A M1,Z )].