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Chapitre VII. Descente globale
Il suffit donc de prouver l’égalité
(3)
k
G2
M2,U (M 2 , L
U
2 )
v∈U
c
L
v
1,SC ,L
v
2,SC
M1,v,sc,M2,v,sc = c
G1,G2
M1,M2 k
G1
M1,U (M 1 , L
U
1 ).
Fixons un entier n comme au début du paragraphe. L’application ˆ j n a des avatars
locaux ˆ j n,v . Considérons le diagramme
Z( ˆ
M 2 )
ΓF
ˆ jn
→
Z( ˆ
M 1 )
ΓF
↓
↓
v∈V Z( ˆ
M 2,v )
ΓF v /Z( ˆ
L v
2 )
ΓF v
v∈U
ˆ jn,v
→
v∈V Z( ˆ
M 1,v )
ΓF v /Z( ˆ
L v
1 )
ΓF v
Les flèches verticales sont les homomorphismes naturels. Le diagramme est commutatif. Tous les homomorphismes sont surjectifs, de noyaux finis. Il résulte des
définitions que
– k
G2
M2,U (M 2 , L
U
2 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de
gauche ;
– k
G1
M1,U (M 1 , L
U
1 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de
droite ;
– c
G1,G2
M1,M2 est le nombre d’éléments du noyau de la flèche horizontale du haut,
multiplié par n
−aM 2 ;
–
v∈U c
L
v
1,SC ,L
v
2,SC
M1,v,sc,M2,v,sc est le nombre d’éléments de la flèche horizontale de
droite, multiplié par
v∈U n
−aM 2,v +a L v
2 .
En utilisant le chemin sud-ouest du diagramme, on voit que le membre de
gauche de (3) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche composée, multiplié
par
v∈U n
−aM 2,v +a L v
2 . En utilisant le chemin nord-est, on voit que le membre de
droite de (3) est le nombre d’éléments du même noyau, multiplié par n
−aM 2 . Parce
que L
U
2 appartient à L(M 2,U ), on vérifie l’égalité
a M2 =
v∈U
a M2,v − a L v
2
.
L’égalité (3) en résulte, ce qui achève la démonstration.
VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1
Soient M 1 ∈ L(M 1,0 ) et M 2 ∈ L(M 2,0 ) deux Levi qui se correspondent.
Proposition. Supposons M 1 = G 1 . Alors on a l’égalité
c
G1,G2
M1,M2 j ∗ (SA
M1
unip (V )) = SA
M2
unip (V ).