VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6
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qui est surjectif et de noyau fini. On pose
c
G1,G2
M1,M2 = n
−aM 2 | ker( ˆ j n )|,
où a M2 = dim(A M2 ) = dim(A M1 ). Cela ne dépend pas du choix de n.
Proposition. Soit δ 1 ∈ D
st
unip (M 1 (F U )). On a l’égalité
s
G1
M1,U (δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2,U (j ∗ (δ 1 )).
Preuve. On peut supposer δ 1 = ⊗ v∈U δ 1,v . On a écrit en 2.2 la formule de décomposition
(1)
s
G1
M1,U (δ 1 ) =
L U
1 ∈L(M1,U )
e
G1
M1,U (M 1 , L
U
1 )
v∈U
s
L
v
1
M1,v (δ 1,v ),
Pour tout L
U
1 ∈ L(M 1,U ) et tout v ∈ U , notons L
v
2 l’élément de L(M 2,v ) qui
correspond à L
v
1 . Le lemme 9.3(ii) entraîne l’égalité
s
L
v
1
M1,v (δ 1,v ) = c
L
v
1,SC ,L
v
2,SC
M1,v,sc,M2,v,sc s
L
v
2
M2,v (j ∗ (δ 1,v )).
Posons L
U
2 = (L
v
2 ) v∈U . Cette famille est un élément de L(M 2,U ). On prouvera
ci-dessous l’égalité
(2)
e
G1
M1,U (M 1 , L
U
1 )
v∈U
c
L
v
1,SC ,L
v
2,SC
M1,v,sc,M2,v,sc = c
G1,G2
M1,M2 e
G2
M2,U (M 2 , L
U
2 ).
Admettons-la. La formule (1) se transforme en
s
G1
M1,U (δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2
L U
1 ∈L(M1,U )
e
G2
M2,U (M 2 , L
U
2 )
v∈U
s
L
v
2
M2,v (j ∗ (δ 1,v )).
L’application L
U
1 → L
U
2 est une bijection de L(M 1,U ) sur L(M 2,U ). On peut remplacer la somme en L
U
1 ci-dessus par une somme en L
U
2 ∈ L(M 2,U ). Grâce à la
formule similaire à (1), le membre de droite ci-dessus est égal à
c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2,U (j ∗ (δ 1 )),
ce qui démontre l’égalité de l’énoncé.
Il reste à prouver (2). D’après la définition de [VI] 4.2, on a pour i = 1, 2
l’égalité
e
Gi
Mi,U (M i , L
U
i ) = d
Gi
Mi,U (M i , L
U
i )k
Gi
Mi,U (M i , L
U
i )
−1 .
Le terme d
Gi
Mi,U (M i , L
U
i ) est le rapport entre deux mesures sur l’espace A
Gi
Mi,U , cf.
[VI] 1.4. Il résulte de nos définitions que les espaces et mesures ne dépendent pas
de l’indice i. Donc
d
G1
M1,U (M 1 , L
U
1 ) = d
G2
M2,U (M 2 , L
U
2 ).