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Chapitre VII. Descente globale
et K
L
sc . Fixons un ensemble de représentants U de l’ensemble de doubles classes
Z(M )
0 (F v )\M (F v )/π(M sc (F v )).
Soit γ sc ∈ D unip (M sc (F v )). Posons γ
sc = |U|
−1
u∈U ad u (γ sc ). Il résulte du
lemme [III] 3.3 que l’on a l’égalité
r
L
M (ι
∗
Msc,M (γ sc ), K
L ) = r
LSC
Msc (γ
sc , K
L
sc ).
Remarque. Dans le lemme cité apparaissaient des espaces de mesures que l’on a
ici fait disparaître. En utilisant la preuve du lemme 4.2 du présent chapitre, on
montre que cette disparition est légitime compte tenu de nos choix de mesures
canoniques.
Une distribution stable est invariante par l’action du groupe adjoint. Pour
δ sc ∈ D
st
unip (M sc (F v )), on a donc δ
sc = δ sc et l’égalité se simplifie en
r
L
M (ι
∗
Msc,M (δ sc ), K
L ) = r
LSC
Msc (δ sc , K
L
sc ).
Cette égalité se propage alors aux fonctions s
L
M et s
LSC
Msc par la même preuve qu’en
[III] 3.6. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Preuve de (ii). Le triplet (L 1,SC , L 2,SC , j ∗,sc ) étant endoscopique non standard, la
proposition 8.2 fournit l’égalité
s
L1,SC
M1,sc (δ 1,sc ) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2,SC
M2,sc (j ∗,sc (δ 1,sc ))
pour tout δ 1,sc ∈ D
st
unip (M 1,sc (F v )). En utilisant (i), on obtient
s
L1
M1 (ι
∗
M1,sc,M1 (δ 1,sc )) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2
M2 (ι
∗
M2,sc,M2 ◦ j ∗,sc (δ 1,sc )).
Evidemment, ι
∗
M2,sc,M2 ◦ j ∗,sc = j ∗ ◦ ι
∗
M1,sc,M1 .
Puisque tout élément δ 1 ∈ D
st
unip (M 1 (F v )) peut s’écrire sous la forme δ 1 =
ι
∗
M1,sc,M1 (δ 1,sc ), on en déduit le (ii) de l’énoncé.
VII.9.4 Globalisation
On revient à notre corps de base F . Soit U un ensemble fini de places de F disjoint
de V et non vide. Pour i = 1, 2, soit M i ∈ L(M i,0 ). Comme en 9.2, les constructions du paragraphe 2.2 se simplifient dans notre situation et donnent naissance
à une fonction que l’on note s
Gi
Mi,U sur D
st
g´ eom (M i (F U )). Supposons que M 1 et
M 2 se correspondent. On définit une constante c
G1,G2
M1,M2 de la même façon qu’en
[III] 6.4, en y remplaçant le corps de base local de cette référence par notre corps
F . Rappelons la définition. Soit n ≥ 1 un entier tel que nj ∗ envoie X ∗ (T 1 ) dans
X ∗ (T 2 ). L’homomorphisme dual de nj ∗ envoie X
∗ (T 2 ) dans X
∗ (T 1 ). Il s’identifie
à un homomorphisme de X ∗ ( ˆ
T 2 ) dans X ∗ ( ˆ
T 1 ), qui définit un homomorphisme de
ˆ
T 2 dans ˆ
T 1 . Celui-ci se restreint en un homomorphisme
ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF
Chapitre VII. Descente globale
et K
L
sc . Fixons un ensemble de représentants U de l’ensemble de doubles classes
Z(M )
0 (F v )\M (F v )/π(M sc (F v )).
Soit γ sc ∈ D unip (M sc (F v )). Posons γ
sc = |U|
−1
u∈U ad u (γ sc ). Il résulte du
lemme [III] 3.3 que l’on a l’égalité
r
L
M (ι
∗
Msc,M (γ sc ), K
L ) = r
LSC
Msc (γ
sc , K
L
sc ).
Remarque. Dans le lemme cité apparaissaient des espaces de mesures que l’on a
ici fait disparaître. En utilisant la preuve du lemme 4.2 du présent chapitre, on
montre que cette disparition est légitime compte tenu de nos choix de mesures
canoniques.
Une distribution stable est invariante par l’action du groupe adjoint. Pour
δ sc ∈ D
st
unip (M sc (F v )), on a donc δ
sc = δ sc et l’égalité se simplifie en
r
L
M (ι
∗
Msc,M (δ sc ), K
L ) = r
LSC
Msc (δ sc , K
L
sc ).
Cette égalité se propage alors aux fonctions s
L
M et s
LSC
Msc par la même preuve qu’en
[III] 3.6. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Preuve de (ii). Le triplet (L 1,SC , L 2,SC , j ∗,sc ) étant endoscopique non standard, la
proposition 8.2 fournit l’égalité
s
L1,SC
M1,sc (δ 1,sc ) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2,SC
M2,sc (j ∗,sc (δ 1,sc ))
pour tout δ 1,sc ∈ D
st
unip (M 1,sc (F v )). En utilisant (i), on obtient
s
L1
M1 (ι
∗
M1,sc,M1 (δ 1,sc )) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2
M2 (ι
∗
M2,sc,M2 ◦ j ∗,sc (δ 1,sc )).
Evidemment, ι
∗
M2,sc,M2 ◦ j ∗,sc = j ∗ ◦ ι
∗
M1,sc,M1 .
Puisque tout élément δ 1 ∈ D
st
unip (M 1 (F v )) peut s’écrire sous la forme δ 1 =
ι
∗
M1,sc,M1 (δ 1,sc ), on en déduit le (ii) de l’énoncé.
VII.9.4 Globalisation
On revient à notre corps de base F . Soit U un ensemble fini de places de F disjoint
de V et non vide. Pour i = 1, 2, soit M i ∈ L(M i,0 ). Comme en 9.2, les constructions du paragraphe 2.2 se simplifient dans notre situation et donnent naissance
à une fonction que l’on note s
Gi
Mi,U sur D
st
g´ eom (M i (F U )). Supposons que M 1 et
M 2 se correspondent. On définit une constante c
G1,G2
M1,M2 de la même façon qu’en
[III] 6.4, en y remplaçant le corps de base local de cette référence par notre corps
F . Rappelons la définition. Soit n ≥ 1 un entier tel que nj ∗ envoie X ∗ (T 1 ) dans
X ∗ (T 2 ). L’homomorphisme dual de nj ∗ envoie X
∗ (T 2 ) dans X
∗ (T 1 ). Il s’identifie
à un homomorphisme de X ∗ ( ˆ
T 2 ) dans X ∗ ( ˆ
T 1 ), qui définit un homomorphisme de
ˆ
T 2 dans ˆ
T 1 . Celui-ci se restreint en un homomorphisme
ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF