VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6
925
a i ∈ A Mi (F v ) en position générale et proche de 1. D’après [II] 4.7, le germe en 1
de la fonction a i → s
Gi
Mi (a i δ i ) est équivalent à un élément de l’espace U
Gi
Mi dont
le terme constant est égal à s
Gi
Mi (δ i ) (cf. [II] 4.6 pour les définitions). Considérons
l’application qui, à une fonction ϕ de a 2 , associe la fonction a 1 → ϕ(j ∗ (a 1 )). Les
considérations de [III] 6.4 et l’hypothèse v ∈ V entraînent que cette application
respecte l’équivalence. Elle envoie U
G2
M2 sur U
G1
M1 et sa restriction à U
G2
M2 commute
à l’application «terme constant». Il en résulte que le germe en 1 de la fonction
a 1 → s
G2
M2 (j ∗ (a 1 )δ 2 ) est équivalent à un élément de l’espace U
G1
M1 dont le terme
constant est égal à s
G2
M2 (δ 2 ). Puisque a 1 δ 1 est à support G 1 -équisingulier, on a
démontré l’égalité
s
G1
M1 (a 1 δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (j ∗ (a 1 )δ 2 ).
Le germe de cette fonction en 1 est équivalent à un élément de U
G1
M1 et on a deux
façons de calculer son terme constant : la première donne s
G1
M1 (δ 1 ) ; la seconde
donne c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (δ 2 ). D’où l’égalité de ces deux termes, ce qui achève la démonstration.
VII.9.3 Extension aux Levi
Pour i = 1, 2, soient M i et L i deux Levi de G i tels que M i,0 ⊂ M i ⊂ L i . Les
définitions de [II] 4.2 se simplifient comme dans le paragraphe précédent : on a
une fonction s
Li
Mi sur D
st
g´ eom (M i (F v )). On suppose que M 1 et M 2 , resp. L 1 et L 2 ,
se correspondent.
On note comme toujours L i,SC le revêtement simplement connexe de L i et
on note M i,sc , resp. T i,sc , l’image réciproque de M i , resp. T i , dans L i,SC . De j ∗
se déduit un isomorphisme j ∗,sc : X ∗ (T 1,sc ) ⊗ Z Q → X ∗ (T 2,sc ) ⊗ Z Q. Le triplet
(L 1,SC , L 2,SC , j ∗,sc ) est encore endoscopique non standard.
On a défini en [III] 3.5 un homomorphisme surjectif
ι
∗
Mi,sc,Mi : D
st
unip (M i,sc (F v )) → D
st
unip (M i (F v )).
Lemme.
(i) Pour i = 1, 2 et pour δ i,sc ∈ D
st
unip (M i,sc (F v )), on a l’égalité
s
Li
Mi (ι
∗
Mi,sc,Mi (δ i,sc )) = s
Li,SC
Mi,sc (δ i,sc ).
(ii) Pour δ 1 ∈ D
st
unip (M 1 (F v )), on a l’égalité
s
L1
M1 (δ 1 ) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
Preuve de (i). Le temps de cette preuve, l’indice i = 1, 2 est fixé et on le supprime pour simplifier. Rappelons que les fonctions s
L
M et s
LSC
Msc sont déduites de
fonctions primitives r
L
M (., K
L ) et r
LSC
Msc (., K
L
sc ) qui calculent les intégrales orbitales pondérées non-invariantes des fonctions caractéristiques des compacts K
L
925
a i ∈ A Mi (F v ) en position générale et proche de 1. D’après [II] 4.7, le germe en 1
de la fonction a i → s
Gi
Mi (a i δ i ) est équivalent à un élément de l’espace U
Gi
Mi dont
le terme constant est égal à s
Gi
Mi (δ i ) (cf. [II] 4.6 pour les définitions). Considérons
l’application qui, à une fonction ϕ de a 2 , associe la fonction a 1 → ϕ(j ∗ (a 1 )). Les
considérations de [III] 6.4 et l’hypothèse v ∈ V entraînent que cette application
respecte l’équivalence. Elle envoie U
G2
M2 sur U
G1
M1 et sa restriction à U
G2
M2 commute
à l’application «terme constant». Il en résulte que le germe en 1 de la fonction
a 1 → s
G2
M2 (j ∗ (a 1 )δ 2 ) est équivalent à un élément de l’espace U
G1
M1 dont le terme
constant est égal à s
G2
M2 (δ 2 ). Puisque a 1 δ 1 est à support G 1 -équisingulier, on a
démontré l’égalité
s
G1
M1 (a 1 δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (j ∗ (a 1 )δ 2 ).
Le germe de cette fonction en 1 est équivalent à un élément de U
G1
M1 et on a deux
façons de calculer son terme constant : la première donne s
G1
M1 (δ 1 ) ; la seconde
donne c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (δ 2 ). D’où l’égalité de ces deux termes, ce qui achève la démonstration.
VII.9.3 Extension aux Levi
Pour i = 1, 2, soient M i et L i deux Levi de G i tels que M i,0 ⊂ M i ⊂ L i . Les
définitions de [II] 4.2 se simplifient comme dans le paragraphe précédent : on a
une fonction s
Li
Mi sur D
st
g´ eom (M i (F v )). On suppose que M 1 et M 2 , resp. L 1 et L 2 ,
se correspondent.
On note comme toujours L i,SC le revêtement simplement connexe de L i et
on note M i,sc , resp. T i,sc , l’image réciproque de M i , resp. T i , dans L i,SC . De j ∗
se déduit un isomorphisme j ∗,sc : X ∗ (T 1,sc ) ⊗ Z Q → X ∗ (T 2,sc ) ⊗ Z Q. Le triplet
(L 1,SC , L 2,SC , j ∗,sc ) est encore endoscopique non standard.
On a défini en [III] 3.5 un homomorphisme surjectif
ι
∗
Mi,sc,Mi : D
st
unip (M i,sc (F v )) → D
st
unip (M i (F v )).
Lemme.
(i) Pour i = 1, 2 et pour δ i,sc ∈ D
st
unip (M i,sc (F v )), on a l’égalité
s
Li
Mi (ι
∗
Mi,sc,Mi (δ i,sc )) = s
Li,SC
Mi,sc (δ i,sc ).
(ii) Pour δ 1 ∈ D
st
unip (M 1 (F v )), on a l’égalité
s
L1
M1 (δ 1 ) = c
L1,SC ,L2,SC
M1,sc,M2,sc s
L2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
Preuve de (i). Le temps de cette preuve, l’indice i = 1, 2 est fixé et on le supprime pour simplifier. Rappelons que les fonctions s
L
M et s
LSC
Msc sont déduites de
fonctions primitives r
L
M (., K
L ) et r
LSC
Msc (., K
L
sc ) qui calculent les intégrales orbitales pondérées non-invariantes des fonctions caractéristiques des compacts K
L