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Chapitre VII. Descente globale
notée s
˜
Gi
˜
Mi
(., ˜
K i ). Elle ne dépendait que de la classe de conjugaison par G i,AD (F v )
du sous-espace hyperspécial ˜
K i . Ici, la situation n’est pas tordue, on prend ˜
K i = K i
et la classe de conjugaison par G i,AD (F v ) de ce groupe est uniquement déterminée.
On peut donc noter simplement s
Gi
Mi notre fonction.
Supposons que M 1 et M 2 se correspondent. On a défini en [III] 6.4 une
constante c
G1,G2
M1,M2 ∈ C
× .
Proposition. Soit δ 1 ∈ D
st
g´ eom (M 1 (F v )). Supposons que son support est assez voisin
de l’origine. Alors on a l’égalité
s
G1
M1 (δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
Preuve. Pour i = 1, 2, il y a une analogue s
gi
mi de la fonction s
Gi
Mi , définie sur
D
st
g´ eom (m i (F v )). Pour d 1 ∈ D
st
g´ eom (m 1 (F v )) à support régulier dans g 1 (F v ), on a
l’égalité
s
g1
m1 (d 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
g2
m2 (j ∗ (d 1 )).
Cette égalité est la conjecture 3.7 de [80]. Une preuve est annoncée par Chaudouard
et Laumon ([31]).
Pour d i ∈ D
st
g´ eom (m i (F v )) à support assez voisin de l’origine, on peut définir
exp(d i ) ∈ D
st
g´ eom (G i (F v )).
Il résulte des définitions que l’on a l’égalité s
Gi
Mi (exp(d i )) = s
gi
mi (d i ). Pour δ 1 ∈
D
st
g´ eom (M 1 (F v )) à support régulier dans G 1 (F v ) et assez voisin de l’origine, il existe
d 1 ∈ D
st
g´ eom (m 1 (F v )) à support régulier dans g 1 (F v ) et assez voisin de l’origine de
sorte que δ 1 = exp(d 1 ). Les considérations ci-dessus entraînent l’égalité de l’énoncé
pour un tel δ 1 .
Il reste à lever l’hypothèse que le support de δ 1 est régulier dans G 1 (F v ). Cela
se fait en deux temps comme dans la section 4 de [II]. Considérons d’abord une
classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ M 1 (F v ) qui est G 1 -équisingulière
et assez proche de l’origine. Soit δ 1 ∈ D
st
g´ eom (O), c’est-à-dire que son support est
formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O. D’après le lemme [II]
2.2, on peut fixer δ
1 ∈ D
st
g´ eom (M 1 (F v )), à support régulier dans G 1 (F v ) aussi voisin
qu’on le veut de O, de sorte que δ 1 = g
M1
M1 (δ
1 ). D’après la proposition [III] 6.6, on
a l’égalité j ∗ (δ 1 ) = g
M2
M2 ◦ j ∗ (δ
1 ). D’après la relation [II] 4.5(2), on a les égalités
s
G1
M1 (δ
1 ) = s
G1
M1 (g
M1
M1 (δ
1 )) = s
G1
M1 (δ 1 ),
s
G2
M2 (j ∗ (δ
1 )) = s
G2
M2 (g
M2
M2 ◦ j ∗ (δ
1 )) = s
G2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
L’égalité de l’énoncé déjà prouvée pour δ
1 entraîne alors l’égalité analogue pour δ 1 .
Soit maintenant δ 1 soumis à la seule restriction que son support est assez
voisin de l’origine. Posons δ 2 = j ∗ (δ 1 ). Pour i = 1, 2, on introduit une variable
Chapitre VII. Descente globale
notée s
˜
Gi
˜
Mi
(., ˜
K i ). Elle ne dépendait que de la classe de conjugaison par G i,AD (F v )
du sous-espace hyperspécial ˜
K i . Ici, la situation n’est pas tordue, on prend ˜
K i = K i
et la classe de conjugaison par G i,AD (F v ) de ce groupe est uniquement déterminée.
On peut donc noter simplement s
Gi
Mi notre fonction.
Supposons que M 1 et M 2 se correspondent. On a défini en [III] 6.4 une
constante c
G1,G2
M1,M2 ∈ C
× .
Proposition. Soit δ 1 ∈ D
st
g´ eom (M 1 (F v )). Supposons que son support est assez voisin
de l’origine. Alors on a l’égalité
s
G1
M1 (δ 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
G2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
Preuve. Pour i = 1, 2, il y a une analogue s
gi
mi de la fonction s
Gi
Mi , définie sur
D
st
g´ eom (m i (F v )). Pour d 1 ∈ D
st
g´ eom (m 1 (F v )) à support régulier dans g 1 (F v ), on a
l’égalité
s
g1
m1 (d 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 s
g2
m2 (j ∗ (d 1 )).
Cette égalité est la conjecture 3.7 de [80]. Une preuve est annoncée par Chaudouard
et Laumon ([31]).
Pour d i ∈ D
st
g´ eom (m i (F v )) à support assez voisin de l’origine, on peut définir
exp(d i ) ∈ D
st
g´ eom (G i (F v )).
Il résulte des définitions que l’on a l’égalité s
Gi
Mi (exp(d i )) = s
gi
mi (d i ). Pour δ 1 ∈
D
st
g´ eom (M 1 (F v )) à support régulier dans G 1 (F v ) et assez voisin de l’origine, il existe
d 1 ∈ D
st
g´ eom (m 1 (F v )) à support régulier dans g 1 (F v ) et assez voisin de l’origine de
sorte que δ 1 = exp(d 1 ). Les considérations ci-dessus entraînent l’égalité de l’énoncé
pour un tel δ 1 .
Il reste à lever l’hypothèse que le support de δ 1 est régulier dans G 1 (F v ). Cela
se fait en deux temps comme dans la section 4 de [II]. Considérons d’abord une
classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ M 1 (F v ) qui est G 1 -équisingulière
et assez proche de l’origine. Soit δ 1 ∈ D
st
g´ eom (O), c’est-à-dire que son support est
formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O. D’après le lemme [II]
2.2, on peut fixer δ
1 ∈ D
st
g´ eom (M 1 (F v )), à support régulier dans G 1 (F v ) aussi voisin
qu’on le veut de O, de sorte que δ 1 = g
M1
M1 (δ
1 ). D’après la proposition [III] 6.6, on
a l’égalité j ∗ (δ 1 ) = g
M2
M2 ◦ j ∗ (δ
1 ). D’après la relation [II] 4.5(2), on a les égalités
s
G1
M1 (δ
1 ) = s
G1
M1 (g
M1
M1 (δ
1 )) = s
G1
M1 (δ 1 ),
s
G2
M2 (j ∗ (δ
1 )) = s
G2
M2 (g
M2
M2 ◦ j ∗ (δ
1 )) = s
G2
M2 (j ∗ (δ 1 )).
L’égalité de l’énoncé déjà prouvée pour δ
1 entraîne alors l’égalité analogue pour δ 1 .
Soit maintenant δ 1 soumis à la seule restriction que son support est assez
voisin de l’origine. Posons δ 2 = j ∗ (δ 1 ). Pour i = 1, 2, on introduit une variable