VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6
923
VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6
VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème
On rappelle brièvement l’énoncé du théorème [VI] 5.6, en renvoyant à cette référence pour plus de détails. On considère un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ) défini sur F . Pour i = 1, 2, on fixe une paire de Borel (B i , T i ) de G i
définie sur F . On note Σ i l’ensemble des racines de T i dans g i . Le terme j ∗ est un
isomorphisme de X ∗ (T 1 ) ⊗ Z Q sur X ∗ (T 2 ) ⊗ Z Q. Il y a une bijection τ : Σ 2 → Σ 1
et une fonction b : Σ 2 → Q >0 de sorte que, pour tout α 2 ∈ Σ 2 , on ait l’égalité
j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 , où α 1 = τ (α 2 ) et ˇ
α i est la coracine associée à α i .
Pour toute place v de F , on a un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗
qui se restreint en un isomorphisme analogue pour les distributions à support
nilpotent. Par l’exponentielle, il s’en déduit un isomorphisme
(2)
D
st
unip (G 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
unip (G 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
On fixe un ensemble fini de places V de sorte que
– V contient les places archimédiennes de F ;
– G 1 et G 2 sont non ramifiés hors de V ;
– pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ] ;
alors p > e v N (G i ) + 1 pour i = 1, 2, où N (G i ) est l’entier défini en [79] 4.3 ;
– les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V .
Théorème. Sous ces hypothèses, les distributions SA
G1
unip (V ) et SA
G2
unip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (2) ci-dessus.
Pour simplifier, on note encore j ∗ toute application déduite de l’application
j ∗ primitive. Par exemple, on note j ∗ les isomorphismes (1) et (2). Pour i = 1, 2,
on pose M i,0 = T i . On a un isomorphisme j ∗ : A M1,0 A M2,0 . On fixe des mesures
sur ces espaces qui se correspondent par cet isomorphisme. On se débarrasse des
espaces de mesures comme dans les paragraphes précédents. C’est-à-dire que, en
une place v ∈ V , on utilise les mesures canoniques. Pour i = 1, 2, on munit G i (A)
de la mesure de Tamagawa, cf. 4.1. De ces choix se déduit une mesure sur G i (F V ).
Pour des Levi M 1 ∈ L(M 1,0 ) et M 2 ∈ L(M 2,0 ) qui se correspondent, on fait des
choix analogues.
VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard
Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe une place v ∈ V et on considère que le
corps de base est F v . Pour i = 1, 2, soit M i ∈ L(M i,0 ). On a défini en [II] 4.2 une
fonction sur D
st
g´ eom (M i (F v )). Dans la situation générale de cette référence, elle était
923
VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6
VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème
On rappelle brièvement l’énoncé du théorème [VI] 5.6, en renvoyant à cette référence pour plus de détails. On considère un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ) défini sur F . Pour i = 1, 2, on fixe une paire de Borel (B i , T i ) de G i
définie sur F . On note Σ i l’ensemble des racines de T i dans g i . Le terme j ∗ est un
isomorphisme de X ∗ (T 1 ) ⊗ Z Q sur X ∗ (T 2 ) ⊗ Z Q. Il y a une bijection τ : Σ 2 → Σ 1
et une fonction b : Σ 2 → Q >0 de sorte que, pour tout α 2 ∈ Σ 2 , on ait l’égalité
j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 , où α 1 = τ (α 2 ) et ˇ
α i est la coracine associée à α i .
Pour toute place v de F , on a un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗
qui se restreint en un isomorphisme analogue pour les distributions à support
nilpotent. Par l’exponentielle, il s’en déduit un isomorphisme
(2)
D
st
unip (G 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
unip (G 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
On fixe un ensemble fini de places V de sorte que
– V contient les places archimédiennes de F ;
– G 1 et G 2 sont non ramifiés hors de V ;
– pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ] ;
alors p > e v N (G i ) + 1 pour i = 1, 2, où N (G i ) est l’entier défini en [79] 4.3 ;
– les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V .
Théorème. Sous ces hypothèses, les distributions SA
G1
unip (V ) et SA
G2
unip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (2) ci-dessus.
Pour simplifier, on note encore j ∗ toute application déduite de l’application
j ∗ primitive. Par exemple, on note j ∗ les isomorphismes (1) et (2). Pour i = 1, 2,
on pose M i,0 = T i . On a un isomorphisme j ∗ : A M1,0 A M2,0 . On fixe des mesures
sur ces espaces qui se correspondent par cet isomorphisme. On se débarrasse des
espaces de mesures comme dans les paragraphes précédents. C’est-à-dire que, en
une place v ∈ V , on utilise les mesures canoniques. Pour i = 1, 2, on munit G i (A)
de la mesure de Tamagawa, cf. 4.1. De ces choix se déduit une mesure sur G i (F V ).
Pour des Levi M 1 ∈ L(M 1,0 ) et M 2 ∈ L(M 2,0 ) qui se correspondent, on fait des
choix analogues.
VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard
Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe une place v ∈ V et on considère que le
corps de base est F v . Pour i = 1, 2, soit M i ∈ L(M i,0 ). On a défini en [II] 4.2 une
fonction sur D
st
g´ eom (M i (F v )). Dans la situation générale de cette référence, elle était