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Chapitre VII. Descente globale
est surjective. Soit w ∈ Fix
G (μ). Ecrivons η = νe avec ν ∈ T
∗ et e ∈ Z( ˜
G; E
∗ ). On
relève w en un élément x ∈ G e qui normalise T
∗ . Parce que w fixe μ, il existe t ∈ T
∗
tel que ad x (ν) = (1− θ
∗ )(t)ν. Ou encore, puisque ad x fixe e, ad x (η) = (1− θ
∗ )(t)η.
L’élément t
−1 x relève encore w et appartient à Z G (η). En notant ξ l’image de t
−1 x
dans Ξ, on voit que ξ s’envoie sur w par l’application précédente. Cela prouve que
l’application ξ → w est un isomorphisme de Ξ sur Fix
G (μ). Posons r = r[d].
Alors ad r est un isomorphisme de Ξ[d] sur Ξ. Par composition, on obtient un
isomorphisme de Ξ[d] sur Fix
G (μ). Pour étudier les actions galoisiennes, on doit
se rappeler que, par définition de D F , ω ¯
G coïncide avec le cocycle ω η[d] calculé
comme en 1.2 à l’aide de la paire de Borel (ad r −1 (B
∗ ), ad r −1 (T
∗ )). En reprenant
les définitions de 1.2, on voit que cela se traduit par la propriété suivante :
(8) pour tout σ ∈ Γ F , il existe ¯
g(σ) ∈ ¯
G tel que ¯
g(σ)rσ(r)
−1 u E ∗ (σ)
−1 normalise
T
∗ et s’envoie sur l’élément ω ¯
G (σ) ∈ W .
Soient σ ∈ Γ F et ξ[d] ∈ Ξ[d]. L’élément ξ[d] s’envoie par ad r sur un élément
ξ ∈ Ξ, que l’on relève comme ci-dessus en un élément x ∈ Z G (η), qui s’envoie
sur un élément w ∈ Fix
G (μ). L’élément σ(ξ[d]) s’envoie par ad r sur un élément
ξ
∈ Ξ, que l’on relève en un élément x
∈ Z G (η), qui s’envoie sur un élément
w
∈ Fix
G (μ). Relevons ξ[d] en l’élément ad r −1 (x). Alors ξ
est l’image dans Ξ
de l’élément ad r ◦σ ◦ ad r −1 (x) = ad rσ(r) −1 ◦σ(x). La conjugaison par ¯
G conserve
Z G (η) et se quotiente en l’identité de Ξ. Donc ξ
est aussi l’image dans Ξ de
l’élément x
= ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 ◦σ(x). On a
(9)
x
= ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 u E ∗ (σ) −1 ◦ ad u E ∗ (σ) ◦σ(x).
L’élément x normalise T
∗ . Les automorphismes ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 u E ∗ (σ) −1 et ad u E ∗ (σ) ◦σ
aussi. Il en résulte que x
normalise T
∗ . Puisque x
et x
relèvent tous deux ξ
, x
se déduit de x par multiplication à gauche par un élément du normalisateur de T
∗
dans I η . L’image w
de x
dans W se déduit de l’image w
de x
par multiplication
à gauche par un élément de W (μ). D’après (8) et (9), on a w
= ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ (w) =
σ ¯
G (w). Cela implique que w
∈ Fix
G (μ). Puisque w
et w
sont deux éléments de
cet ensemble qui se déduisent l’un de l’autre par multiplication à gauche par un
élément de W (μ), ils sont égaux (parce que les éléments de Fix
G (μ) conservent
Σ + (μ)). On obtient w
= w
= σ ¯
G (w). Mais cela prouve que l’isomorphisme
de Ξ[d] sur Fix
G (μ) entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action
σ → σ ¯
G sur Fix
G (μ). Cela achève la preuve de (7) et de (4).
En utilisant (4), l’égalité (3) se récrit
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) =
C∈Cl(O)
I
˜
G (A
˜
G (V, C, ω), f).
D’après la définition de 1.9, le membre de droite ci-dessus est égal à celui de
l’égalité (1). Cela prouve cette égalité et cela achève la preuve du théorème 3.3.
Chapitre VII. Descente globale
est surjective. Soit w ∈ Fix
G (μ). Ecrivons η = νe avec ν ∈ T
∗ et e ∈ Z( ˜
G; E
∗ ). On
relève w en un élément x ∈ G e qui normalise T
∗ . Parce que w fixe μ, il existe t ∈ T
∗
tel que ad x (ν) = (1− θ
∗ )(t)ν. Ou encore, puisque ad x fixe e, ad x (η) = (1− θ
∗ )(t)η.
L’élément t
−1 x relève encore w et appartient à Z G (η). En notant ξ l’image de t
−1 x
dans Ξ, on voit que ξ s’envoie sur w par l’application précédente. Cela prouve que
l’application ξ → w est un isomorphisme de Ξ sur Fix
G (μ). Posons r = r[d].
Alors ad r est un isomorphisme de Ξ[d] sur Ξ. Par composition, on obtient un
isomorphisme de Ξ[d] sur Fix
G (μ). Pour étudier les actions galoisiennes, on doit
se rappeler que, par définition de D F , ω ¯
G coïncide avec le cocycle ω η[d] calculé
comme en 1.2 à l’aide de la paire de Borel (ad r −1 (B
∗ ), ad r −1 (T
∗ )). En reprenant
les définitions de 1.2, on voit que cela se traduit par la propriété suivante :
(8) pour tout σ ∈ Γ F , il existe ¯
g(σ) ∈ ¯
G tel que ¯
g(σ)rσ(r)
−1 u E ∗ (σ)
−1 normalise
T
∗ et s’envoie sur l’élément ω ¯
G (σ) ∈ W .
Soient σ ∈ Γ F et ξ[d] ∈ Ξ[d]. L’élément ξ[d] s’envoie par ad r sur un élément
ξ ∈ Ξ, que l’on relève comme ci-dessus en un élément x ∈ Z G (η), qui s’envoie
sur un élément w ∈ Fix
G (μ). L’élément σ(ξ[d]) s’envoie par ad r sur un élément
ξ
∈ Ξ, que l’on relève en un élément x
∈ Z G (η), qui s’envoie sur un élément
w
∈ Fix
G (μ). Relevons ξ[d] en l’élément ad r −1 (x). Alors ξ
est l’image dans Ξ
de l’élément ad r ◦σ ◦ ad r −1 (x) = ad rσ(r) −1 ◦σ(x). La conjugaison par ¯
G conserve
Z G (η) et se quotiente en l’identité de Ξ. Donc ξ
est aussi l’image dans Ξ de
l’élément x
= ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 ◦σ(x). On a
(9)
x
= ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 u E ∗ (σ) −1 ◦ ad u E ∗ (σ) ◦σ(x).
L’élément x normalise T
∗ . Les automorphismes ad ¯
g(σ)rσ(r) −1 u E ∗ (σ) −1 et ad u E ∗ (σ) ◦σ
aussi. Il en résulte que x
normalise T
∗ . Puisque x
et x
relèvent tous deux ξ
, x
se déduit de x par multiplication à gauche par un élément du normalisateur de T
∗
dans I η . L’image w
de x
dans W se déduit de l’image w
de x
par multiplication
à gauche par un élément de W (μ). D’après (8) et (9), on a w
= ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ (w) =
σ ¯
G (w). Cela implique que w
∈ Fix
G (μ). Puisque w
et w
sont deux éléments de
cet ensemble qui se déduisent l’un de l’autre par multiplication à gauche par un
élément de W (μ), ils sont égaux (parce que les éléments de Fix
G (μ) conservent
Σ + (μ)). On obtient w
= w
= σ ¯
G (w). Mais cela prouve que l’isomorphisme
de Ξ[d] sur Fix
G (μ) entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action
σ → σ ¯
G sur Fix
G (μ). Cela achève la preuve de (7) et de (4).
En utilisant (4), l’égalité (3) se récrit
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) =
C∈Cl(O)
I
˜
G (A
˜
G (V, C, ω), f).
D’après la définition de 1.9, le membre de droite ci-dessus est égal à celui de
l’égalité (1). Cela prouve cette égalité et cela achève la preuve du théorème 3.3.