VII.8. Preuve du théorème 3.3
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seulement si y ∈ (Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] )G(F ). Donc la fibre de cl au-dessus de cl(d)
est en bijection avec l’ensemble de doubles classes
(5)
I η[d] ( ¯
F )\(Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] )G(F )/G(F ).
Posons Ξ[d] = I η[d] ( ¯
F )\Z G (η[d]; ¯
F ). C’est un groupe fini qui est muni d’une
action naturelle de Γ F . Il résulte des définitions que
Ξ[d]
ΓF = I η[d] ( ¯
F )\(Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] ).
Ce groupe contient le sous-groupe Ξ F [d] = I η[d] (F )\Z G (η[d]; F ). On voit que l’application naturelle de Ξ[d]
ΓF dans l’ensemble (5) se quotiente en une bijection de
Ξ[d]
ΓF /Ξ F [d] sur cet ensemble. On en déduit que le nombre d’éléments de la fibre
de cl au-dessus de cl(d) est égal à
(6)
|Ξ[d]
ΓF
|[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]
−1 .
On va identifier l’ensemble Ξ[d] et son action galoisienne. Munissons le groupe
W
θ
∗ de l’action galoisienne σ → σ ¯
G définie par σ ¯
G (w) = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 . Le
groupe W
θ
∗ agit naturellement sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G), cf. 1.1. Notons
Fix
G (μ) le groupe des w ∈ W
θ
∗ tels que wμ = μ et w(Σ + (μ)) = Σ + (μ), cf. 1.1
pour les notations. Pour tout σ ∈ Γ F , ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ fixe μ et conserve Σ + (μ). On
en déduit que l’action galoisienne σ → σ ¯
G sur W
θ
∗ conserve Fix
G (μ). D’après la
définition de 5.1, Fix
G (μ, ω ¯
G ) n’est autre que l’ensemble de points fixes par cette
action dans Fix
G (μ). On va montrer
(7) il existe un isomorphisme de Ξ[d] sur Fix
G (μ) qui entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σ ¯
G sur Fix
G (μ).
En admettant cela, on a
|Ξ[d]
ΓF
| = | Fix
G (μ, ω ¯
G )|
et (4) résulte alors de la formule (6). Prouvons (7). Posons Ξ = I η \Z G (η) =
I η ( ¯
F )\Z G (η; ¯
F ). Soit ξ ∈ Ξ et relevons ξ en un élément x ∈ Z G (η). Quitte à
multiplier x à gauche par un élément de I η , on peut supposer que ad x conserve
T
∗,θ
∗ ,0 et ¯
B = B
∗
∩ ¯
G. Il en résulte que ad x conserve T
∗ donc x s’envoie sur un
élément w ∈ W . Cet élément est invariant par θ
∗ . L’élément x est uniquement
déterminé modulo multiplication à gauche par un élément de T
∗,θ
∗ . Donc w est
bien déterminé. Le fait que x appartient à Z G (η) entraîne que w fixe μ. Parce que
ad x conserve ¯
B = B
∗
∩ ¯
G, w conserve Σ + (μ). Autrement dit, w ∈ Fix
G (μ). Cela
définit une application ξ → w de Ξ dans Fix
G (μ). Il est immédiat que c’est un
homomorphisme de groupes. Son noyau est l’ensemble des ξ ∈ Ξ qui se relèvent en
un élément x ∈ T
∗
∩ Z G (η). Mais ce groupe est égal à T
∗,θ
∗ qui est contenu dans
I η . Donc le noyau est réduit à l’élément neutre. Montrons que l’application ξ → w
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seulement si y ∈ (Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] )G(F ). Donc la fibre de cl au-dessus de cl(d)
est en bijection avec l’ensemble de doubles classes
(5)
I η[d] ( ¯
F )\(Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] )G(F )/G(F ).
Posons Ξ[d] = I η[d] ( ¯
F )\Z G (η[d]; ¯
F ). C’est un groupe fini qui est muni d’une
action naturelle de Γ F . Il résulte des définitions que
Ξ[d]
ΓF = I η[d] ( ¯
F )\(Z G (η[d]; ¯
F ) ∩ Y η[d] ).
Ce groupe contient le sous-groupe Ξ F [d] = I η[d] (F )\Z G (η[d]; F ). On voit que l’application naturelle de Ξ[d]
ΓF dans l’ensemble (5) se quotiente en une bijection de
Ξ[d]
ΓF /Ξ F [d] sur cet ensemble. On en déduit que le nombre d’éléments de la fibre
de cl au-dessus de cl(d) est égal à
(6)
|Ξ[d]
ΓF
|[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]
−1 .
On va identifier l’ensemble Ξ[d] et son action galoisienne. Munissons le groupe
W
θ
∗ de l’action galoisienne σ → σ ¯
G définie par σ ¯
G (w) = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 . Le
groupe W
θ
∗ agit naturellement sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G), cf. 1.1. Notons
Fix
G (μ) le groupe des w ∈ W
θ
∗ tels que wμ = μ et w(Σ + (μ)) = Σ + (μ), cf. 1.1
pour les notations. Pour tout σ ∈ Γ F , ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ fixe μ et conserve Σ + (μ). On
en déduit que l’action galoisienne σ → σ ¯
G sur W
θ
∗ conserve Fix
G (μ). D’après la
définition de 5.1, Fix
G (μ, ω ¯
G ) n’est autre que l’ensemble de points fixes par cette
action dans Fix
G (μ). On va montrer
(7) il existe un isomorphisme de Ξ[d] sur Fix
G (μ) qui entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σ ¯
G sur Fix
G (μ).
En admettant cela, on a
|Ξ[d]
ΓF
| = | Fix
G (μ, ω ¯
G )|
et (4) résulte alors de la formule (6). Prouvons (7). Posons Ξ = I η \Z G (η) =
I η ( ¯
F )\Z G (η; ¯
F ). Soit ξ ∈ Ξ et relevons ξ en un élément x ∈ Z G (η). Quitte à
multiplier x à gauche par un élément de I η , on peut supposer que ad x conserve
T
∗,θ
∗ ,0 et ¯
B = B
∗
∩ ¯
G. Il en résulte que ad x conserve T
∗ donc x s’envoie sur un
élément w ∈ W . Cet élément est invariant par θ
∗ . L’élément x est uniquement
déterminé modulo multiplication à gauche par un élément de T
∗,θ
∗ . Donc w est
bien déterminé. Le fait que x appartient à Z G (η) entraîne que w fixe μ. Parce que
ad x conserve ¯
B = B
∗
∩ ¯
G, w conserve Σ + (μ). Autrement dit, w ∈ Fix
G (μ). Cela
définit une application ξ → w de Ξ dans Fix
G (μ). Il est immédiat que c’est un
homomorphisme de groupes. Son noyau est l’ensemble des ξ ∈ Ξ qui se relèvent en
un élément x ∈ T
∗
∩ Z G (η). Mais ce groupe est égal à T
∗,θ
∗ qui est contenu dans
I η . Donc le noyau est réduit à l’élément neutre. Montrons que l’application ξ → w