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Chapitre VII. Descente globale
Nous supposons maintenant que X est l’image par χ
˜
G d’une classe de conjugaison stable O ⊂ ˜
G(F ). Cette classe est unique d’après la proposition 1.2 et c’est
la classe de conjugaison stable de η[d] pour tout d ∈ D F . Notons Cl(O) l’ensemble
des classes de conjugaison par G(F ) contenues dans O. Il y a une application naturelle D F → Cl(O) qui, à d ∈ D F , associe la classe de conjugaison de η[d]. Elle
est surjective et se quotiente en une application de I η ( ¯
F )\D F /G(F ) dans Cl(O).
Etendons l’ensemble ˙
D
V −nr
F
en un ensemble de représentants ˙
D F de l’ensemble de
doubles classes I η ( ¯
F )\D F /G(F ). L’application ci-dessus devient une application
cl : ˙
D F → Cl(O). Soit d ∈ ˙
D F , posons C = cl(d). Utilisons la définition [VI] 2.3
ainsi que les hypothèses (1), (2) et (4) posées en 5.1. Considérons la propriété
(2) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par C
coupe ˜
K v .
Elle équivaut à ce que, pour tout v ∈ V , l’image de d dans D v appartienne à
D
nr
v , cf. 5.5. Ou encore à d ∈ ˙
D
V −nr
F
. Si (2) n’est pas vérifiée, on a A
˜
G (V, C, ω) = 0.
Si (2) est vérifiée, la définition [VI] 2.3(7) conduit à l’égalité
I
˜
G (A
˜
G (V, C, ω), f)
= [Z G (η[d]; F ) : G η[d] (F )]
−1 ω(h[d])I
G η[d] (A
G η[d]
unip (V, ω, K[d]
V ), f[d]).
Il résulte alors de 8.3(1) que
(3)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f)
= | Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
d∈ ˙
DF
[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]I
˜
G (A
˜
G (V, cl(d), ω), f).
L’ensemble de sommation peut maintenant être infini mais seuls un nombre fini
de termes sont non nuls.
On va prouver
(4) pour tout d ∈ ˙
D F , la fibre de l’application cl au-dessus de cl(d) a pour
nombre d’éléments | Fix
G (μ, ω ¯
G )|[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]
−1 .
L’élément d ∈ ˙
D F est fixé. On rappelle que l’on note Y η[d] l’ensemble des
y ∈ G( ¯
F ) tels que yσ(y)
−1
∈ I η[d] ( ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F . L’application y →
(y
−1 η[d]y, r[d]y) est une bijection de Y η[d] sur D F (la preuve est analogue à celle
de 5.4(4)). L’inverse de cette bijection identifie ˙
D F à un ensemble de représentants
de l’ensemble de doubles classes
I η[d] ( ¯
F )\Y η[d] /G(F ).
L’élément y
−1 η[d]y est conjugué à η[d] par un élément de G(F ) si et seulement si
y ∈ Z G (η[d]; ¯
F )G(F ). Ou encore, puisque y est supposé appartenir à Y η[d] , si et
Chapitre VII. Descente globale
Nous supposons maintenant que X est l’image par χ
˜
G d’une classe de conjugaison stable O ⊂ ˜
G(F ). Cette classe est unique d’après la proposition 1.2 et c’est
la classe de conjugaison stable de η[d] pour tout d ∈ D F . Notons Cl(O) l’ensemble
des classes de conjugaison par G(F ) contenues dans O. Il y a une application naturelle D F → Cl(O) qui, à d ∈ D F , associe la classe de conjugaison de η[d]. Elle
est surjective et se quotiente en une application de I η ( ¯
F )\D F /G(F ) dans Cl(O).
Etendons l’ensemble ˙
D
V −nr
F
en un ensemble de représentants ˙
D F de l’ensemble de
doubles classes I η ( ¯
F )\D F /G(F ). L’application ci-dessus devient une application
cl : ˙
D F → Cl(O). Soit d ∈ ˙
D F , posons C = cl(d). Utilisons la définition [VI] 2.3
ainsi que les hypothèses (1), (2) et (4) posées en 5.1. Considérons la propriété
(2) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par C
coupe ˜
K v .
Elle équivaut à ce que, pour tout v ∈ V , l’image de d dans D v appartienne à
D
nr
v , cf. 5.5. Ou encore à d ∈ ˙
D
V −nr
F
. Si (2) n’est pas vérifiée, on a A
˜
G (V, C, ω) = 0.
Si (2) est vérifiée, la définition [VI] 2.3(7) conduit à l’égalité
I
˜
G (A
˜
G (V, C, ω), f)
= [Z G (η[d]; F ) : G η[d] (F )]
−1 ω(h[d])I
G η[d] (A
G η[d]
unip (V, ω, K[d]
V ), f[d]).
Il résulte alors de 8.3(1) que
(3)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f)
= | Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
d∈ ˙
DF
[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]I
˜
G (A
˜
G (V, cl(d), ω), f).
L’ensemble de sommation peut maintenant être infini mais seuls un nombre fini
de termes sont non nuls.
On va prouver
(4) pour tout d ∈ ˙
D F , la fibre de l’application cl au-dessus de cl(d) a pour
nombre d’éléments | Fix
G (μ, ω ¯
G )|[Z G (η[d]; F ) : I η[d] (F )]
−1 .
L’élément d ∈ ˙
D F est fixé. On rappelle que l’on note Y η[d] l’ensemble des
y ∈ G( ¯
F ) tels que yσ(y)
−1
∈ I η[d] ( ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F . L’application y →
(y
−1 η[d]y, r[d]y) est une bijection de Y η[d] sur D F (la preuve est analogue à celle
de 5.4(4)). L’inverse de cette bijection identifie ˙
D F à un ensemble de représentants
de l’ensemble de doubles classes
I η[d] ( ¯
F )\Y η[d] /G(F ).
L’élément y
−1 η[d]y est conjugué à η[d] par un élément de G(F ) si et seulement si
y ∈ Z G (η[d]; ¯
F )G(F ). Ou encore, puisque y est supposé appartenir à Y η[d] , si et