VII.8. Preuve du théorème 3.3
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où A
G η[d],SC
unip;G η[d] ,ω,V (V ) est défini en 4.3. Puisque f [d] sc = ι G η[d],SC ,G η[d] (f [d]), on a
I
G η[d],SC (A
G η[d],SC
unip;G η[d] ,ω,V (V ), f[d] sc )
= I
G η[d] (ι
∗
G η[d],SC ,G η[d]
(A
G η[d],SC
unip;G η[d] ,ω,V (V )), f[d]).
On applique la proposition 4.3. L’ensemble de places V
doit être assez grand,
cette notion dépendant de d. Puisqu’on a déjà dit que l’ensemble ˙
D
V −nr
F
était fini,
on peut supposer que l’ensemble V
fixé en 8.1 satisfait cette condition pour tout
d. La proposition 4.3 nous dit que
ι
∗
G η[d],SC ,G η[d]
(A
G η[d],SC
unip;G η[d] ,ω,V (V )) = τ
(G η[d],SC )τ
(G η[d] )
−1 A
G η[d]
unip (V, ω, K[d]
V ).
Puisque G η[d],SC est simplement connexe, on a A G η[d],SC = {0} et τ (G η[d],SC ) = 1
([52] théorème 1.2). Donc aussi τ
(G η[d],SC ) = 1. On a aussi par définition
τ
(G η[d] ) = τ (G η[d] ) covol(A G η[d] ,Z )
−1 .
D’où
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])X[d, u]
= |W
¯
G
|ω(h[d])τ (G η[d] )
−1 covol(A G η[d] ,Z )I
G η[d] (A
G η[d]
unip (V, ω, K[d]
V ), f[d]).
Reportons cette valeur dans la formule 8.1(1). Comme on l’a dit en 1.1, le groupe
W
G (μ) s’identifie à W
¯
G . On obtient
(1)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) = | Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
d∈ ˙
D
V −nr
F
[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 ω(h[d])I
G η[d] (A
G η[d]
unip (V, ω, K[d]
V ), f[d]).
VII.8.4 Fin de la preuve
Rappelons qu’il nous suffit de prouver la proposition 5.1, c’est-à-dire l’égalité
(1)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) = I
˜
G (A
˜
G (V, X , ω), f).
Supposons que X n’appartienne pas à l’image de l’application χ
˜
G , c’est-à-dire
ne corresponde à aucune classe de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ). Alors l’ensemble D F est vide, a fortiori ˙
D
V −nr
F
aussi et la formule 8.3(1) montre que
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) = 0.
D’après la définition 1.9, on a aussi I
˜
G (A
˜
G (V, X , ω), f) = 0. L’égalité (1)
ci-dessus en résulte.