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Chapitre VII. Descente globale
la fibre contenant un élément H ∈ E ˆ ¯
T ad
(G η[d],SC , V ) a pour nombre d’éléments
|W
¯
G
||W
¯
H
|
−1
| Out(H)|
−1 . On obtient
X[d, u] = |W
¯
G
|
H∈E(G η[d],SC ,V )
τ ( ¯
H)
−1
| Out(H)|
−1 S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f
H [d, u]).
En utilisant la définition [VI] 5.1, on voit que
τ ( ¯
H)
−1
| Out(H)|
−1 = τ (G η[d],SC )
−1 i(G η[d],SC , ¯
H).
Ici τ (G η[d],SC ) = 1 puisque G η[d],SC est simplement connexe ([52] théorème 1.2).
D’autre part,
S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f
H [d, u]) = I
G η[d],SC (transfert u (SA
¯
H
unip (V )), f[d] sc ),
où transfert u désigne le transfert relatif au facteur de transfert Δ V [d, u] défini en
7.1. On obtient
X[d, u] = |W
¯
G
|I
G η[d],SC (B[d, u], f[d] sc ),
où
B[d, u] =
H∈E(G η[d],SC ,V )
i(G η[d],SC , ¯
H) transfert u (SA
¯
H
unip (V )).
En se reportant à la définition de 1.10, on voit que B[d, u] n’est autre que la
distribution A
G η[d],SC ,E
unip
(V ). Plus exactement, on se rappelle que cette distribution dépend d’un choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes
G η[d],SC (F v ) pour v ∈ V . Puisqu’on utilise le facteur de transfert Δ V [d, u], ces
groupes sont les K sc,v [d, u] définis en 7.1. Notons K v [d] le sous-groupe compact
hyperspécial de G η[d] (F v ) défini par K v [d] = ad hv[d] (K v ) ∩ G η[d] (F v ). Avec la notation de 4.3, on a
v ∈V K sc,v [d, u] =
u K[d]
V
sc . On a donc précisément B[d, u] =
A
G η[d],SC ,E
unip
(V,
u K[d]
V
sc ). On est ici dans une situation sans torsion et on peut appliquer le théorème d’Arthur 3.1. Donc B[d, u] = A
G η[d],SC
unip
(V,
u K[d]
V
sc ) et
X[d, u] = |W
¯
G
|I
G η[d],SC (A
G η[d],SC
unip
(V,
u K[d]
V
sc ), f[d] sc ).
VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes
Fixons d ∈ ˙
D
V −nr
F
. Grâce à la dernière formule ci-dessus, on a
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])X[d, u]
= |W
¯
G
|ω(h[d])I
G η[d],SC (A
G η[d],SC
unip;G η[d] ,ω,V (V ), f[d] sc ),