VII.8. Preuve du théorème 3.3
917
sur les d ∈ ˙
D
V −nr
F
tels que H soit relevante pour G η[d],SC . D’où
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
d∈ ˙
D
V −nr
F
,
H relevante pour G η[d],SC
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d, u]).
On peut maintenant lever la première hypothèse faite sur H, à savoir que D
rel
V est
non vide. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de droite est nul car la somme en d
est vide. Le membre de gauche est nul lui-aussi d’après le corollaire 5.6. L’égalité
est donc encore vérifiée. Rappelons que la fonction ¯
f [d, u] qui intervient ici est le
transfert à ¯
H(F V ) d’une fonction f [d] sc sur G η[d],SC (F V ), le facteur de transfert
étant déterminé par u. Il convient d’introduire la donnée H dans la notation et
de noter plutôt cette fonction ¯
f
H [d, u]. Utilisons maintenant l’égalité 5.3(1). On
obtient
(1)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
d∈ ˙
D
V −nr
F
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1
covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])X[d, u],
où
X[d, u] =
H∈E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
GSC ,V ),
H relevante pour G η[d],SC
τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f
H [d, u]).
VII.8.2 Elimination de la somme en H
Fixons d ∈ ˙
D
V −nr
F
et u ∈ U[V
, d]. Notons E ˆ ¯
T ad
(G η[d],SC , V ) l’ensemble de sommation qui intervient dans la définition de X[d, u], c’est-à-dire l’ensemble des
H ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ) qui sont relevantes pour G η[d],SC . Fixons comme toujours
un ensemble E(G η[d],SC , V ) de représentants des classes d’équivalence de données
endoscopiques de G η[d],SC qui sont elliptiques, non ramifiées hors de V et relevantes. Il y a une application naturelle E ˆ ¯
T ad
(G η[d],SC , V ) → E(G η[d],SC , V ) qui, à
H dans l’ensemble de départ, associe le représentant de sa classe d’équivalence.
Cette application est surjective : toute donnée endoscopique de G η[d],SC est équivalente à une donnée ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) telle que ¯
s appartienne à ˆ ¯
T ad . Les nombres d’éléments des fibres de cette application se calculent comme en 5.1. On obtient que
917
sur les d ∈ ˙
D
V −nr
F
tels que H soit relevante pour G η[d],SC . D’où
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
d∈ ˙
D
V −nr
F
,
H relevante pour G η[d],SC
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d, u]).
On peut maintenant lever la première hypothèse faite sur H, à savoir que D
rel
V est
non vide. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de droite est nul car la somme en d
est vide. Le membre de gauche est nul lui-aussi d’après le corollaire 5.6. L’égalité
est donc encore vérifiée. Rappelons que la fonction ¯
f [d, u] qui intervient ici est le
transfert à ¯
H(F V ) d’une fonction f [d] sc sur G η[d],SC (F V ), le facteur de transfert
étant déterminé par u. Il convient d’introduire la donnée H dans la notation et
de noter plutôt cette fonction ¯
f
H [d, u]. Utilisons maintenant l’égalité 5.3(1). On
obtient
(1)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
d∈ ˙
D
V −nr
F
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1
covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])X[d, u],
où
X[d, u] =
H∈E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
GSC ,V ),
H relevante pour G η[d],SC
τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f
H [d, u]).
VII.8.2 Elimination de la somme en H
Fixons d ∈ ˙
D
V −nr
F
et u ∈ U[V
, d]. Notons E ˆ ¯
T ad
(G η[d],SC , V ) l’ensemble de sommation qui intervient dans la définition de X[d, u], c’est-à-dire l’ensemble des
H ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ) qui sont relevantes pour G η[d],SC . Fixons comme toujours
un ensemble E(G η[d],SC , V ) de représentants des classes d’équivalence de données
endoscopiques de G η[d],SC qui sont elliptiques, non ramifiées hors de V et relevantes. Il y a une application naturelle E ˆ ¯
T ad
(G η[d],SC , V ) → E(G η[d],SC , V ) qui, à
H dans l’ensemble de départ, associe le représentant de sa classe d’équivalence.
Cette application est surjective : toute donnée endoscopique de G η[d],SC est équivalente à une donnée ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) telle que ¯
s appartienne à ˆ ¯
T ad . Les nombres d’éléments des fibres de cette application se calculent comme en 5.1. On obtient que