916
Chapitre VII. Descente globale
Corollaire. Pourvu que l’ensemble de places V
soit assez grand, l’expression (1)
est égale à
C( ˜
G)
−1
d∈ ˙
DF [dV ]
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 [I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )]
covol(A G η[d] )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
Cela résulte du corollaire 7.2 et de la proposition 7.10.
VII.8 Preuve du théorème 3.3
VII.8.1 Suite du calcul de la section 5
Utilisons le corollaire 7.16 pour transformer la formule 5.9(2). Il y a deux simplifications. La constante C( ˜
G) apparaît deux fois et ses deux occurences se compensent. Le terme c[d V ] défini en 5.9 est égal à [I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )]
−1 pour tout
d ∈ ˙
D F [d V ] et ce terme compense l’un de ceux intervenant dans le corollaire 7.16.
D’autre part, il intervient dans ce corollaire un ensemble fini de places V
qui doit
être assez grand. Cette notion dépend a priori des éléments fixés dans la section
7, à savoir d V et H. Mais ces données d V et H parcourent des ensembles finis. On
peut donc fixer un ensemble V
assez grand pour que le corollaire 7.16 soit valable
pour tous d V et H. On obtient alors
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
dV ∈ ˙
D rel
V
d∈ ˙
DF [dV ]
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d, u]).
Notons D
V −nr
F
l’ensemble des d ∈ D F tels que la projection de d dans D A V
F
appartienne à D
nr
A V
F
. L’ensemble D F [d V ] a été défini en 6.9. Dans ce paragraphe,
on supposait d V relevante mais c’était inutile pour cette définition. On peut alors
définir ˙
D F [d V ] comme en 7.1 sans cette hypothèse de relevance. Notons ˙
D
V −nr
F
la réunion des ˙
D F [d V ] pour d V ∈ ˙
D V . C’est un ensemble de représentants de
l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F )\D
V −nr
F
/G(F ).
La même preuve qu’en 7.1(1) montre que c’est un ensemble fini. Grâce à 5.5(4),
la double somme ci-dessus en d V ∈ ˙
D
rel
V et d ∈ ˙
D F [d V ] se simplifie en une somme
Chapitre VII. Descente globale
Corollaire. Pourvu que l’ensemble de places V
soit assez grand, l’expression (1)
est égale à
C( ˜
G)
−1
d∈ ˙
DF [dV ]
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 [I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )]
covol(A G η[d] )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
Cela résulte du corollaire 7.2 et de la proposition 7.10.
VII.8 Preuve du théorème 3.3
VII.8.1 Suite du calcul de la section 5
Utilisons le corollaire 7.16 pour transformer la formule 5.9(2). Il y a deux simplifications. La constante C( ˜
G) apparaît deux fois et ses deux occurences se compensent. Le terme c[d V ] défini en 5.9 est égal à [I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )]
−1 pour tout
d ∈ ˙
D F [d V ] et ce terme compense l’un de ceux intervenant dans le corollaire 7.16.
D’autre part, il intervient dans ce corollaire un ensemble fini de places V
qui doit
être assez grand. Cette notion dépend a priori des éléments fixés dans la section
7, à savoir d V et H. Mais ces données d V et H parcourent des ensembles finis. On
peut donc fixer un ensemble V
assez grand pour que le corollaire 7.16 soit valable
pour tous d V et H. On obtient alors
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
dV ∈ ˙
D rel
V
d∈ ˙
DF [dV ]
τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1 covol(A G η[d] ,Z )
−1
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d])S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d, u]).
Notons D
V −nr
F
l’ensemble des d ∈ D F tels que la projection de d dans D A V
F
appartienne à D
nr
A V
F
. L’ensemble D F [d V ] a été défini en 6.9. Dans ce paragraphe,
on supposait d V relevante mais c’était inutile pour cette définition. On peut alors
définir ˙
D F [d V ] comme en 7.1 sans cette hypothèse de relevance. Notons ˙
D
V −nr
F
la réunion des ˙
D F [d V ] pour d V ∈ ˙
D V . C’est un ensemble de représentants de
l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F )\D
V −nr
F
/G(F ).
La même preuve qu’en 7.1(1) montre que c’est un ensemble fini. Grâce à 5.5(4),
la double somme ci-dessus en d V ∈ ˙
D
rel
V et d ∈ ˙
D F [d V ] se simplifie en une somme