VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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Les flèches horizontales sont injectives. La flèche de droite est injective : cela résulte
de l’ellipticité de η . Donc la flèche de gauche est aussi injective. En revenant au
diagramme (9), on en déduit un diagramme commutatif à flèches injectives
X
∗ (G)
ΓF ,θ
φ 1
φ
X
∗ (I )
ΓF /X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
φ2
→
X
∗ ( ¯
G )
ΓF .
Par définition, on a
x(I ) = |X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
|| coker(φ 2 )|
−1 .
L’injectivité de φ 1 et la relation (8) entraînent que
[X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )] = |X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
|| coker(φ 1 )|.
Il en résulte que
x(I )[X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )]
−1 = | coker(φ 2 )|
−1
| coker(φ 1 )|
−1
= | coker(φ)|
−1 .
D’après les définitions, on a aussi
| coker(φ)| = |A ˜
G,Z /A ¯
G,Z | = covol(A ¯
G,Z ) covol(A ˜
G,Z )
−1 .
L’égalité (7) résulte des deux égalités ci-dessus. Cela achève la démonstration.
VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10
Les lemmes 7.12, 7.13 et 7.14 conduisent à l’égalité
|P
0
||U|
−1 = C( ˜
G)τ ( ¯
G )[I (F ) : ¯
G (F )]
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )] covol(A ¯
G )
−1 .
On a aussi |U| = | ˙
D F [d V ]| d’après le lemme 7.5. Enfin, l’assertion 7.3(1) entraîne
que pour tout d ∈ D F [d V ], il y a des isomorphismes compatibles et définis sur
F de I sur I η[d] et de ¯
G sur G η[d] . On peut donc remplacer dans le deuxième
membre de l’égalité ci-dessus les termes I et ¯
G par I η[d] et G η[d] . La proposition
7.10 en résulte.
VII.7.16 Calcul final
On lève l’hypothèse D F [d V ] = ∅ posée en 7.3. Considérons l’expression
(1)
¯
f [d V ]
j∈J (H)
δ j [d V ]
qui apparaît dans la formule 5.9(2).