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Chapitre VII. Descente globale
Notons Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ ) l’image dans X
∗ (S
θ )
ΓF du sous-groupe
X
∗ (G)
ΓF ,θ
⊂ X
∗ (G)
ΓF .
Kottwitz et Shelstad ont calculé
[Im(X
∗ (G)
ΓF ) : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )] = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)||π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ,0 )|
−1 ,
cf. [48] calcul de l’expression 6.4.14. L’expression ci-dessus se transforme en
d(I , G) = |π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
|π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ,0 )|
−1 [X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )]
−1 .
En se rappelant la définition de C( ˜
G) donnée en 5.8, on peut récrire
d(I , G) = C( ˜
G)
−1 τ (G) covol(A ˜
G,Z )
−1 [X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )]
−1 .
Pour obtenir le lemme, il reste à prouver l’égalité
(7)
x(I ) covol(A ¯
G,Z ) = [X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF ,θ )] covol(A ˜
G,Z ).
Le groupe I est isomorphe au quotient de Z(I ) × ¯
G ,SC par le sous-groupe
formé des (¯ π (z)
−1 , z) pour z ∈ Z( ¯
G ). Il en résulte que X
∗ (I ) est le groupe
des caractères du groupe Z(I )/¯ π (Z( ¯
G ,SC )). L’homomorphisme naturel de ce
groupe dans S
θ /¯ π ( ¯
S sc ) est un isomorphisme. Donc X
∗ (I ) = X
∗ (S
θ /¯ π ( ¯
S sc )).
On obtient une suite exacte
0 → X
∗ (I ) → X
∗ (S
θ ) → X
∗ ( ¯
S sc ).
D’où aussi une suite exacte
0 → X
∗ (I )
ΓF
→ X
∗ (S
θ )
ΓF
→ X
∗ ( ¯
S sc )
ΓF .
Mais ¯
S sc est un tore elliptique donc le dernier groupe est nul. Finalement
(8)
X
∗ (I )
ΓF = X
∗ (S
θ )
ΓF .
On a un diagramme commutatif d’homomorphismes naturels
(9)
X
∗ (G)
ΓF ,θ
↓φ
0 → X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
→ X
∗ (I )
ΓF
→ X
∗ ( ¯
G )
ΓF .
La suite horizontale est exacte. La flèche verticale φ s’inscrit dans un diagramme
commutatif
X
∗ (G)
ΓF ,θ
→ X
∗ (Z(G)
0 )
ΓF ,θ
↓ φ
↓
X
∗ ( ¯
G )
ΓF
→ X
∗ (Z( ¯
G )
0 )
ΓF .