VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
913
ˆ
T muni de l’action galoisienne σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ . Sur Z( ˆ
G), cette action coïncide
avec σ → σ G ∗ . Donc Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
S
ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 (en tant que groupes
munis d’actions galoisiennes). On en déduit
(K
ΓF ,0 ) tors \K
ΓF
tors π 0 (K
ΓF ) π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )
puis (3).
L’application (2) s’insère dans un diagramme de suites exactes de cohomologie
H
0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)))
=
H
0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)))
↓
↓
H
0 (Γ F ; X
∗ (S))
→
H
0 (Γ F ; X
∗ (S sc ))
↓
↓
H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S)) → H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S sc ))
↓
↓
H
1 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)))
=
H
1 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S))) .
Il en résulte formellement que le noyau de (2) est l’image dans H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 −
θ)(S)) → X
∗ (S)) du noyau de
H
0 (Γ F ; X
∗ (S)) → H
0 (Γ F ; X
∗ (S sc )).
Mais le noyau de X
∗ (S) → X
∗ (S sc ) n’est autre que X
∗ (G). Donc le noyau de
(2) est l’image naturelle dans H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S)) de X
∗ (G)
ΓF .
D’autre part, on a la suite exacte
1 → S
θ
→ S
1−θ
→ (1 − θ)(S) → 1 .
Le groupe S
θ n’est pas connexe mais est diagonalisable. Il en résulte une suite
exacte
0 → X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S) → X
∗ (S
θ ) → 0
puis l’égalité
H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S)) = X
∗ (S
θ )
ΓF .
L’homomorphisme de X
∗ (G)
ΓF dans ce groupe n’est autre que l’application de
restriction. En notant Im(X
∗ (G)
ΓF ) son image, on obtient que l’image de l’application (2) est isomorphe à X
∗ (S
θ )
ΓF / Im(X
∗ (G)
ΓF ). On a dit que d(I , G) était
égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme (2). Grâce à (3) et
au résultat précédent, on obtient
d(I , G) = |π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|[X
∗ (S
θ )
ΓF : Im(X
∗ (G)
ΓF )]
−1 .