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Chapitre VII. Descente globale
Le dernier groupe est limite inductive de groupes H
1 (Gal(E/F ); X 1 ⊗ Z Q) sur les
extensions galoisiennes finies E de F telles que Γ E agisse trivialement sur X 1 . Or
ces groupes sont nuls puisque Gal(E/F ) est fini et X 1 ⊗ Z Q est divisible. La suite
ci-dessus se récrit
(5)
X
ΓF
1 ⊗ Z Q → X
ΓF
2 ⊗ Z Q → H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q) → 0.
Il résulte des définitions que
X 2 ⊗ Z Q = ϕ(X 1 ⊗ Z Q) ⊕ X
ˆ
θ
2 ⊗ Z Q.
D’où
(6)
X
ΓF
2 ⊗ Z Q = ϕ(X
ΓF
1 ⊗ Z Q) ⊕ X
ΓF , ˆ
θ
2
⊗ Z Q.
Le tore ¯
S sc est elliptique donc X ∗ ( ¯
S sc )
ΓF = 0. Il en résulte que X ∗ ( ¯
S)
ΓF =
X ∗ (Z( ¯
G )
0 )
ΓF . On a déjà remarqué que η était elliptique dans ˜
G(F ). Le groupe
ci-dessus est donc X ∗ (Z(G)
θ,0 )
ΓF . D’autre part X ∗ ( ¯
S) = X ∗ (S)
θ . On obtient l’égalité X ∗ (S)
ΓF ,θ = X ∗ (Z(G)
θ,0 )
ΓF . Cela entraîne X ∗ (S sc )
ΓF ,θ = 0, ce qui équivaut à
X
ΓF , ˆ
θ
2
= 0. Il résulte alors de (6) que la première application de (5) est surjective.
En conséquence, H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q) = 0.
Il résulte des définitions que les deux premiers groupes de la suite (4) sont
respectivement les noyaux des homomorphismes
X
ΓF
1 ⊗ Z Q → X
ΓF
2 ⊗ Z Q
et
(X 1 ⊗ Z Q/Z)
ΓF
→ (X 2 ⊗ Z Q/Z)
ΓF .
On peut identifier Q/Z au groupe des racines de l’unité dans C
× . Alors l’application x ∗ ⊗ ζ → x ∗ (ζ) identifie X 1 ⊗ Z Q/Z au sous-groupe de torsion ( ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 ) tors ⊂
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Le sous-groupe (X 1 ⊗ Z Q/Z)
ΓF s’identifie à ( ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 )
ΓF
tors . Notons K le
noyau de l’homomorphisme
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0
→ ˆ
S ad .
Alors le deuxième groupe de la suite (4) s’identifie à K
ΓF
tors . On voit que l’image
du premier groupe est (K
ΓF ,0 ) tors . A ce point, on déduit de (4) une suite exacte
(K
ΓF ,0 ) tors → K
ΓF
tors → H
1,0 (Γ F ; X 1 → X 2 ) → 0
On vérifie facilement que l’homomorphisme naturel
(K
ΓF ,0 ) tors \K
ΓF
tors → π 0 (K
ΓF )
est bijectif. D’autre part, le noyau de l’application t → (1 − θ)(t ad ) de ˆ
S dans
ˆ
S ad est Z( ˆ
G) ˆ
S
ˆ
θ,0 . Il en résulte que K Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Le tore ˆ
S est égal à
Chapitre VII. Descente globale
Le dernier groupe est limite inductive de groupes H
1 (Gal(E/F ); X 1 ⊗ Z Q) sur les
extensions galoisiennes finies E de F telles que Γ E agisse trivialement sur X 1 . Or
ces groupes sont nuls puisque Gal(E/F ) est fini et X 1 ⊗ Z Q est divisible. La suite
ci-dessus se récrit
(5)
X
ΓF
1 ⊗ Z Q → X
ΓF
2 ⊗ Z Q → H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q) → 0.
Il résulte des définitions que
X 2 ⊗ Z Q = ϕ(X 1 ⊗ Z Q) ⊕ X
ˆ
θ
2 ⊗ Z Q.
D’où
(6)
X
ΓF
2 ⊗ Z Q = ϕ(X
ΓF
1 ⊗ Z Q) ⊕ X
ΓF , ˆ
θ
2
⊗ Z Q.
Le tore ¯
S sc est elliptique donc X ∗ ( ¯
S sc )
ΓF = 0. Il en résulte que X ∗ ( ¯
S)
ΓF =
X ∗ (Z( ¯
G )
0 )
ΓF . On a déjà remarqué que η était elliptique dans ˜
G(F ). Le groupe
ci-dessus est donc X ∗ (Z(G)
θ,0 )
ΓF . D’autre part X ∗ ( ¯
S) = X ∗ (S)
θ . On obtient l’égalité X ∗ (S)
ΓF ,θ = X ∗ (Z(G)
θ,0 )
ΓF . Cela entraîne X ∗ (S sc )
ΓF ,θ = 0, ce qui équivaut à
X
ΓF , ˆ
θ
2
= 0. Il résulte alors de (6) que la première application de (5) est surjective.
En conséquence, H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q) = 0.
Il résulte des définitions que les deux premiers groupes de la suite (4) sont
respectivement les noyaux des homomorphismes
X
ΓF
1 ⊗ Z Q → X
ΓF
2 ⊗ Z Q
et
(X 1 ⊗ Z Q/Z)
ΓF
→ (X 2 ⊗ Z Q/Z)
ΓF .
On peut identifier Q/Z au groupe des racines de l’unité dans C
× . Alors l’application x ∗ ⊗ ζ → x ∗ (ζ) identifie X 1 ⊗ Z Q/Z au sous-groupe de torsion ( ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 ) tors ⊂
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Le sous-groupe (X 1 ⊗ Z Q/Z)
ΓF s’identifie à ( ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 )
ΓF
tors . Notons K le
noyau de l’homomorphisme
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0
→ ˆ
S ad .
Alors le deuxième groupe de la suite (4) s’identifie à K
ΓF
tors . On voit que l’image
du premier groupe est (K
ΓF ,0 ) tors . A ce point, on déduit de (4) une suite exacte
(K
ΓF ,0 ) tors → K
ΓF
tors → H
1,0 (Γ F ; X 1 → X 2 ) → 0
On vérifie facilement que l’homomorphisme naturel
(K
ΓF ,0 ) tors \K
ΓF
tors → π 0 (K
ΓF )
est bijectif. D’autre part, le noyau de l’application t → (1 − θ)(t ad ) de ˆ
S dans
ˆ
S ad est Z( ˆ
G) ˆ
S
ˆ
θ,0 . Il en résulte que K Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Le tore ˆ
S est égal à