VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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est distingué. Il donne naissance à une suite exacte
H
1,0 (A F /F ; S
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
2,1 (A F /F ; S sc → S)
→ H
2,1 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
2,1 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
En inspectant les définitions, on voit que le premier homomorphisme ci-dessus est
égal à celui de (1). Donc D(I , G) est aussi le noyau du dernier homomorphisme cidessus. Le lemme C.2.A de [48] entraîne par dualité que ce noyau a même nombre
d’éléments que le conoyau de l’homomorphisme dual
(2)
H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S))
→ H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S sc )).
La flèche X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S) envoie un caractère x
∗ de (1 − θ)(S) sur le
caractère x
∗
◦ (1 − θ) de S. La flèche X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S sc ) envoie un caractère
x
∗ de (1 − θ)(S) sur le caractère x
∗
◦ (1 − θ) ◦ π de S sc . Montrons que
(3) le groupe H
1,0 (Γ F ; X
∗ ((1 − θ)(S)) → X
∗ (S sc )) est isomorphe à
π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF ).
On a X
∗ ((1 − θ)(S)) = X ∗ ( ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 ) et X
∗ (S sc ) = X ∗ ( ˆ
S ad ). Pour simplifier,
notons ces groupes X 1 et X 2 . Notons ϕ : X 1 → X 2 l’homomorphisme défini cidessus ainsi que les homomorphismes qui s’en déduisent fonctoriellement. On a la
suite exacte de complexes de Γ F -modules
1
1
↓
↓
X 1
ϕ
→
X 2
↓
↓
X 1 ⊗ Z Q
ϕ
→
X 2 ⊗ Z Q
↓
↓
X 1 ⊗ Z Q/Z
ϕ
→ X 2 ⊗ Z Q/Z
↓
↓
1
1 .
D’où une suite exacte
(4)
H
0,. (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q)
→ H
0,. (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q/Z → X 2 ⊗ Z Q/Z)
→ H
1,0 (Γ F ; X 1 → X 2 ) → H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q → X 2 ⊗ Z Q).
On a noté H
0,. le groupe noté simplement H
0 par Kottwitz et Shelstad. On a aussi
une suite exacte
H
0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q) → H
0 (Γ F ; X 2 ⊗ Z Q) → H
1,0 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q
→ X 2 ⊗ Z Q) → H
1 (Γ F ; X 1 ⊗ Z Q).