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Chapitre VII. Descente globale
La relation (2) entraîne que
|(I / ¯
G )(F V )|
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )] = |(I / ¯
G )(F V )|
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )].
D’autre part, (3) entraîne que I (F ) = ¯
G (F )Ξ I . Donc l’application naturelle
Ξ I /Ξ ¯
G → I (F )/ ¯
G (F ) est bijective. La relation ci-dessus se récrit
(7)
mes(Ξ I \I (F V )/A ¯
G )
= [I (F ) : ¯
G (F )]
−1
|(I / ¯
G )(F V )|
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )]
mes(Ξ ¯
G \ ¯
G (F V )/A ¯
G ).
Le lemme résulte de (4), (5), (6) et (7).
VII.7.14 Calcul de d(I , G)
En appliquant la définition de 7.10 à l’élément η , on définit le covolume
covol(A ¯
G,Z ).
D’autre part, on a défini en 5.8 une constante notée C( ˜
G).
Lemme. On a l’égalité
d(I , G) = x(I )
−1 τ (G)C( ˜
G)
−1 covol(A ¯
G,Z )
−1 .
Preuve. Par définition, D(I , G) est le conoyau de l’homomorphisme
H
1
ab (A F /F ; I ) → H
1
ab (A F /F ; G),
c’est-à-dire de l’homomorphisme
H
2,1,0 (A F /F ; ¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
2,1 (A F /F ; S sc → S).
On a une suite exacte
H
1,0 (A F /F ; S
1−θ
→ (1 − θ)(S)) →
H
2,1,0 (A F /F ; ¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
2 (A F /F ; ¯
S sc ).
Comme on l’a dit en 7.11, le dernier groupe est nul car ¯
S sc est un tore elliptique.
Donc D(I , G) est aussi le conoyau de l’homomorphisme composé
(1)
H
1,0 (A F /F ; S
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
2,1 (A F /F ; S sc → S).
Dans la catégorie des complexes de tores, le triangle
S sc →
S
↓ 1 − θ
S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)
↓ π
S
1−θ
→ (1 − θ)(S)