VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
907
Notons 1 l’élément trivial de H
1 (F V ; I ). La condition (11) équivaut à ce que
(u ab , 1) appartienne au produit fibré ci-dessus. En particulier, U ab × {1} est un
sous-ensemble de ce produit fibré. Notons u → (u ab , u) l’application (12). Un
élément u ∈ H
1 (F ; I ) appartient à U si et seulement s’il vérifie les conditions (2),
(3) et (4) de 7.5. La condition (3) équivaut à l’égalité u = 1. Les conditions (2)
et (4) équivalent aux conditions (9) et (10) ci-dessus. Jointes au fait que (u ab , u)
appartient au produit fibré de droite de la relation (12), cela équivaut comme on
vient de le dire à la relation u ab ∈ U ab . Ainsi U est exactement l’image réciproque
de U ab × 1 par l’application (12). Puisque cette application est surjective ([51]
théorème 1.6.10), cela démontre les premières assertions de (7). Cela démontre
aussi que les fibres de l’application U → U ab sont des fibres de l’application (12).
Notons K(I ) le noyau de cette application. Soit u ∈ H
1 (F ; I ). On voit que la
fibre de (12) au-dessus de l’image de u est isomorphe à K(I ,u ), où I ,u est la
forme intérieure de I associée au cocycle u ad . Il n’est pas difficile de prouver en
général que K(I ,u ) a même nombre d’éléments que K(I ). Dans notre cas, on
s’intéresse aux éléments u ∈ U et l’assertion est triviale puisque, d’après 7.3(1) et
le lemme 7.5, on a I ,u I pour tout u ∈ U. Cela achève de prouver (7).
D’après (3), B ab (I , G) est l’ensemble des éléments de U ab d’image nulle
dans H
1
ab (A F ; I ). Donc son image réciproque dans U est U ∩ ker
1 (F ; I ). On a
vu en 7.5(12) que l’image dans H
1 (F ; G) d’un élément de U était nulle. Donc
U ∩ ker
1 (F ; I ) ⊂ B(I , G). Inversement, un élément de B(I , G) est d’image nulle
dans H
1 (A F ; I ), a fortiori d’image nulle dans H
1
ab (A F ; I ). Il vérifie donc les
conditions (3) et (4) de 7.5. Il est aussi d’image nulle dans H
1 (F ; G). Il vérifie
donc aussi la condition (2) de 7.5, d’après 7.5(12). Donc il appartient à U. Il
appartient aussi à ker
1 (F ; I ), donc B(I , G) ⊂ U ∩ ker
1 (F ; I ). Finalement, ces
deux ensembles sont égaux, ce qui achève la preuve de (8).
On déduit de (7) et (8) l’égalité
(13)
|U ab |
−1
|B ab (I , G)| = |U|
−1
|B(I , G)|.
D’après la proposition 3.7 de [52], on a
(14)
mes(E(I , G; A F /F )) = τ (I )|B(I , G)|d(I , G)τ (G)
−1 .
En mettant bout-à-bout les égalités (4), (5), (6), (13) et (14), on obtient le lemme.
VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa
Pour tout groupe algébrique H défini sur F , on note X
∗ (H) le groupe de caractères algébriques de H. On a un homomorphisme naturel de restriction X
∗ (I ) →
X
∗ ( ¯
G ) dont les noyau et conoyau sont finis. On a donc aussi un homomorphisme
(1)
X
∗ (I )
ΓF
→ X
∗ ( ¯
G )
ΓF
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Notons 1 l’élément trivial de H
1 (F V ; I ). La condition (11) équivaut à ce que
(u ab , 1) appartienne au produit fibré ci-dessus. En particulier, U ab × {1} est un
sous-ensemble de ce produit fibré. Notons u → (u ab , u) l’application (12). Un
élément u ∈ H
1 (F ; I ) appartient à U si et seulement s’il vérifie les conditions (2),
(3) et (4) de 7.5. La condition (3) équivaut à l’égalité u = 1. Les conditions (2)
et (4) équivalent aux conditions (9) et (10) ci-dessus. Jointes au fait que (u ab , u)
appartient au produit fibré de droite de la relation (12), cela équivaut comme on
vient de le dire à la relation u ab ∈ U ab . Ainsi U est exactement l’image réciproque
de U ab × 1 par l’application (12). Puisque cette application est surjective ([51]
théorème 1.6.10), cela démontre les premières assertions de (7). Cela démontre
aussi que les fibres de l’application U → U ab sont des fibres de l’application (12).
Notons K(I ) le noyau de cette application. Soit u ∈ H
1 (F ; I ). On voit que la
fibre de (12) au-dessus de l’image de u est isomorphe à K(I ,u ), où I ,u est la
forme intérieure de I associée au cocycle u ad . Il n’est pas difficile de prouver en
général que K(I ,u ) a même nombre d’éléments que K(I ). Dans notre cas, on
s’intéresse aux éléments u ∈ U et l’assertion est triviale puisque, d’après 7.3(1) et
le lemme 7.5, on a I ,u I pour tout u ∈ U. Cela achève de prouver (7).
D’après (3), B ab (I , G) est l’ensemble des éléments de U ab d’image nulle
dans H
1
ab (A F ; I ). Donc son image réciproque dans U est U ∩ ker
1 (F ; I ). On a
vu en 7.5(12) que l’image dans H
1 (F ; G) d’un élément de U était nulle. Donc
U ∩ ker
1 (F ; I ) ⊂ B(I , G). Inversement, un élément de B(I , G) est d’image nulle
dans H
1 (A F ; I ), a fortiori d’image nulle dans H
1
ab (A F ; I ). Il vérifie donc les
conditions (3) et (4) de 7.5. Il est aussi d’image nulle dans H
1 (F ; G). Il vérifie
donc aussi la condition (2) de 7.5, d’après 7.5(12). Donc il appartient à U. Il
appartient aussi à ker
1 (F ; I ), donc B(I , G) ⊂ U ∩ ker
1 (F ; I ). Finalement, ces
deux ensembles sont égaux, ce qui achève la preuve de (8).
On déduit de (7) et (8) l’égalité
(13)
|U ab |
−1
|B ab (I , G)| = |U|
−1
|B(I , G)|.
D’après la proposition 3.7 de [52], on a
(14)
mes(E(I , G; A F /F )) = τ (I )|B(I , G)|d(I , G)τ (G)
−1 .
En mettant bout-à-bout les égalités (4), (5), (6), (13) et (14), on obtient le lemme.
VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa
Pour tout groupe algébrique H défini sur F , on note X
∗ (H) le groupe de caractères algébriques de H. On a un homomorphisme naturel de restriction X
∗ (I ) →
X
∗ ( ¯
G ) dont les noyau et conoyau sont finis. On a donc aussi un homomorphisme
(1)
X
∗ (I )
ΓF
→ X
∗ ( ¯
G )
ΓF