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Chapitre VII. Descente globale
de la suite (1) de la mesure de comptage et le dernier de la mesure compatible
avec cette suite et les mesures définies sur les autres groupes. En utilisant cette
mesure, on peut récrire le lemme 7.11 sous la forme
(4)
|P
0
| = mes(E(I , G; A F /F ))/ mes(Im(e
V )).
Rappelons que e
V est le composé de la suite
E(I , G; o
V ) → E(I , G; A F ) → E(I , G; A F /F )
On a vu ci-dessus que la première flèche était injective. On s’en sert pour identifier
E(I , G; o
V ) à un sous-groupe de E(I , G; A F ). Notons U ab l’image réciproque de
E(I , G; o
V ) dans E(I , G; F ) par l’homomorphisme de la suite (3). Il résulte des
définitions des mesures que
(5)
mes(Im(e
V )) = mes(E(I , G; o
V ))|U ab |
−1
|B ab (I , G)|.
Vu comme sous-groupe de E(I , G; A F ), E(I , G; o
V ) est le produit sur toutes les
places v ∈ Val(F ) du sous-groupe {0} si v ∈ V , du sous-groupe E(I , G; o v ) de
E(I , G; F v ) si v ∈ V . Sa mesure est le produit des mesures de ces sous-groupes.
Puisque la mesure d’un point dans E(I , G; F v ) est |(I / ¯
G )(F v )|
−1 , (1) entraîne
(6)
mes(E(I , G; o
V )) = (
v∈V
|(I / ¯
G )(F v )|
−1 ).
Notons ker
1 (F ; G) le noyau de l’application H
1 (F ; G) → H
1 (A F ; G). On définit
de même ker
1 (F ; I ). On a une application naturelle ker
1 (F ; I ) → ker
1 (F ; G). On
note B(I , G) son noyau (c’est-à-dire, puisqu’il ne s’agit pas de groupes, l’ensemble
des éléments de ker
1 (F ; I ) qui deviennent triviaux dans H
1 (F ; G)). Rappelons
que U est un sous-ensemble de H
1 (F ; I ) et que U ab est un sous-ensemble de
E(I , G; F ), lequel est un sous-ensemble de H
1
ab (F ; I ). Montrons que
(7) l’application naturelle H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F ; I ) se restreint en une application
surjective U → U ab dont toutes les fibres ont même nombre d’éléments ;
(8) l’image réciproque de B ab (I , G) par cette application est B(I , G).
Par définition, U ab est l’ensemble des u ab ∈ H
1
ab (F ; I ) tels que
(9) l’image de u ab dans H
1
ab (F ; G) est nulle ;
(10) l’image de u ab dans H
1
ab (A
V
F ; I ) appartient à H
1
ab (o
V ; I ) ;
(11) l’image de u ab dans H
1
ab (F V ; I ) est nulle.
On se rappelle l’application
H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F ; I ) × H 1
ab (AF ;I) H
1 (A F ; I )
de 7.5(1). Pour v ∈ V , l’application H
1 (F v ; I ) → H
1
ab (F v ; I ) est bijective ([51]
proposition 1.6.7). L’application ci-dessus s’identifie donc à
(12)
H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F ; I ) × H 1
ab (FV ;I) H
1 (F V ; I ).