VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
905
On fixe un tore ¯
T comme en 7.11, non ramifié en v. L’homomorphisme ci-dessus
devient
H
1,0
ab (o v ; T ,sc → T ) → H
2,1,0
ab (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
On a une suite de cohomologie
H
1
ab (o v ; ¯
T ,sc ) → H
1,0
ab (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
2,1,0
ab (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )) → H
2
ab (o v ; ¯
T ,sc ).
Les deux groupes extrêmes sont nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme
et E(I , G; o v ) devient le conoyau de l’homomorphisme
H
1,0
ab (o v ; T ,sc → T ) → H
1,0
ab (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Ces deux groupes se calculent comme respectivement T (o v )/π(T ,sc (o v )) et ((1 −
θ)(T ))(o v )/(1−θ)◦π(T ,sc (o v )), cf. [48] lemme C.1.A. Donc E(I , G; o v ) s’identifie
au conoyau de
T (o v )
1−θ
→ ((1 − θ)(T ))(o v ).
De la suite exacte
1 → T
θ
(o
nr
v ) → T (o
nr
v ) → ((1 − θ)(T ))(o
nr
v ) → 1
(où T
θ
(o
nr
v ) = T
θ
∩ T (o
nr
v )) et de la nullité des H
1 pour les groupes connexes
résulte que le conoyau ci-dessus s’identifie à H
1 (Γ
nr
v ; T
θ
(o
nr
v )). On note ce groupe
H
1 (o v ; T
θ
). On a une suite exacte
H
1 (o v ; T
θ,0
) → H
1 (o v ; T
θ
) → H
1 (o v ; T
θ
/T
θ,0
) → H
2 (o v ; T
θ,0
),
avec une définition évidente du troisième groupe. Les deux groupes extrêmes sont
nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme. Le groupe T
θ
(o
nr
v )/T
θ,0
(o
nr
v ) est
fini. Le lemme 5.5 de [79] implique qu’il est isomorphe à T
θ
( ¯
F v )/T
θ,0
( ¯
F v ), lequel est
isomorphe à I ( ¯
F v )/ ¯
G ( ¯
F v ). Il résulte de ces deux faits que les groupes suivants ont
même nombre d’éléments : H
1 (o v ; T
θ
/T
θ,0
), H
0 (o v ; T
θ
/T
θ,0
), H
0 (F v ; T
θ
/T
θ,0
),
H
0 (F v ; I / ¯
G ). En rassemblant ces égalités, on obtient (2), d’où (1).
On a une suite exacte
(3)
1 → B ab (I , G) → E(I , G; F ) → E(I , G; A F ) → E(I , G; A F /F )
(première suite de la page 427 de [52]). On n’aura pas besoin de connaître le
groupe B ab (I , G), disons seulement qu’il est fini. Le conoyau de la dernière flèche
est fini. Les deux derniers groupes sont munis de topologies. La dernière flèche
envoie E(I , G; A F ) sur un sous-groupe ouvert de E(I , G; A F /F ) et ce dernier
groupe est compact. Le produit sur v ∈ Val(F ) des mesures locales définies cidessus donne une mesure sur E(I , G; A F ). On munit les deux premiers groupes
905
On fixe un tore ¯
T comme en 7.11, non ramifié en v. L’homomorphisme ci-dessus
devient
H
1,0
ab (o v ; T ,sc → T ) → H
2,1,0
ab (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
On a une suite de cohomologie
H
1
ab (o v ; ¯
T ,sc ) → H
1,0
ab (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
2,1,0
ab (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )) → H
2
ab (o v ; ¯
T ,sc ).
Les deux groupes extrêmes sont nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme
et E(I , G; o v ) devient le conoyau de l’homomorphisme
H
1,0
ab (o v ; T ,sc → T ) → H
1,0
ab (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Ces deux groupes se calculent comme respectivement T (o v )/π(T ,sc (o v )) et ((1 −
θ)(T ))(o v )/(1−θ)◦π(T ,sc (o v )), cf. [48] lemme C.1.A. Donc E(I , G; o v ) s’identifie
au conoyau de
T (o v )
1−θ
→ ((1 − θ)(T ))(o v ).
De la suite exacte
1 → T
θ
(o
nr
v ) → T (o
nr
v ) → ((1 − θ)(T ))(o
nr
v ) → 1
(où T
θ
(o
nr
v ) = T
θ
∩ T (o
nr
v )) et de la nullité des H
1 pour les groupes connexes
résulte que le conoyau ci-dessus s’identifie à H
1 (Γ
nr
v ; T
θ
(o
nr
v )). On note ce groupe
H
1 (o v ; T
θ
). On a une suite exacte
H
1 (o v ; T
θ,0
) → H
1 (o v ; T
θ
) → H
1 (o v ; T
θ
/T
θ,0
) → H
2 (o v ; T
θ,0
),
avec une définition évidente du troisième groupe. Les deux groupes extrêmes sont
nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme. Le groupe T
θ
(o
nr
v )/T
θ,0
(o
nr
v ) est
fini. Le lemme 5.5 de [79] implique qu’il est isomorphe à T
θ
( ¯
F v )/T
θ,0
( ¯
F v ), lequel est
isomorphe à I ( ¯
F v )/ ¯
G ( ¯
F v ). Il résulte de ces deux faits que les groupes suivants ont
même nombre d’éléments : H
1 (o v ; T
θ
/T
θ,0
), H
0 (o v ; T
θ
/T
θ,0
), H
0 (F v ; T
θ
/T
θ,0
),
H
0 (F v ; I / ¯
G ). En rassemblant ces égalités, on obtient (2), d’où (1).
On a une suite exacte
(3)
1 → B ab (I , G) → E(I , G; F ) → E(I , G; A F ) → E(I , G; A F /F )
(première suite de la page 427 de [52]). On n’aura pas besoin de connaître le
groupe B ab (I , G), disons seulement qu’il est fini. Le conoyau de la dernière flèche
est fini. Les deux derniers groupes sont munis de topologies. La dernière flèche
envoie E(I , G; A F ) sur un sous-groupe ouvert de E(I , G; A F /F ) et ce dernier
groupe est compact. Le produit sur v ∈ Val(F ) des mesures locales définies cidessus donne une mesure sur E(I , G; A F ). On munit les deux premiers groupes