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Chapitre VII. Descente globale
([52] 1.2). On dispose donc du nombre de Tamagawa τ (I ) de I . Labesse définit
aussi le groupe D(I , G) comme le conoyau de l’homomorphisme
H
1
ab (A F /F ; I ) → H
1
ab (A F /F ; G).
C’est un groupe fini dont on note d(I , G) le nombre d’éléments.
Lemme. On a l’égalité
|P
0
||U|
−1 = τ (I )τ (G)
−1 d(I , G)|(I / ¯
G )(F V )|.
Preuve. Soit v ∈ Val(F ). On peut calculer le groupe H
1
ab (F v ; I ) à l’aide du complexe
¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S).
Celui-ci est équivalent au complexe
¯
S sc → S
θ
Ici, le groupe S
θ n’est plus un tore mais c’est un groupe diagonalisable. En utilisant
ce complexe, on a un homomorphisme naturel
H
1
ab (F v ; I ) → H
1
ab (F v ; S
θ /S
θ,0 ).
Ces deux groupes sont finis. Labesse les munit en [52] 2.3 de mesures. On s’aperçoit
en utilisant sa définition que la mesure d’un point est la même dans chacun des
groupes (deuxième suite exacte de la page 417 de loc.cit.). Dans le deuxième
groupe, la mesure d’un point est |(S
θ /S
θ,0 )(F v )|
−1 . L’homomorphisme naturel
S
θ /S
θ,0
→ I / ¯
G est un isomorphisme. La mesure d’un point dans H
1
ab (F v ; I ) est
donc |(I / ¯
G )(F v )|
−1 .
Par définition, E(I , G; F v ) est un sous-groupe de H
1
ab (F v ; I ). On le munit
de la mesure induite. La mesure d’un point est donc la même que précédemment.
Supposons v ∈ V . L’homomorphisme E(I , G; o v ) → E(I , G; F v ) est injectif. En effet, les deux groupes se plongent respectivement dans H
1
ab (o v ; I ) et
H
1
ab (F v ; I ) et l’homomorphisme H
1
ab (o v ; I ) → H
1
ab (F v ; I ) est injectif. Identifions
E(I , G; o v ) à un sous-groupe de E(I , G; F v ). Montrons que
(1)
mes(E(I , G; o v )) = 1.
D’après la définition de la mesure, cela équivaut à
(2)
|E(I , G; o v )| = |(I / ¯
G )(F v )|.
On utilise ici la définition de E(I , G; o v ) comme conoyau de
H
0
ab (o v ; G) → H
0
ab (o v ; I \G).
Chapitre VII. Descente globale
([52] 1.2). On dispose donc du nombre de Tamagawa τ (I ) de I . Labesse définit
aussi le groupe D(I , G) comme le conoyau de l’homomorphisme
H
1
ab (A F /F ; I ) → H
1
ab (A F /F ; G).
C’est un groupe fini dont on note d(I , G) le nombre d’éléments.
Lemme. On a l’égalité
|P
0
||U|
−1 = τ (I )τ (G)
−1 d(I , G)|(I / ¯
G )(F V )|.
Preuve. Soit v ∈ Val(F ). On peut calculer le groupe H
1
ab (F v ; I ) à l’aide du complexe
¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S).
Celui-ci est équivalent au complexe
¯
S sc → S
θ
Ici, le groupe S
θ n’est plus un tore mais c’est un groupe diagonalisable. En utilisant
ce complexe, on a un homomorphisme naturel
H
1
ab (F v ; I ) → H
1
ab (F v ; S
θ /S
θ,0 ).
Ces deux groupes sont finis. Labesse les munit en [52] 2.3 de mesures. On s’aperçoit
en utilisant sa définition que la mesure d’un point est la même dans chacun des
groupes (deuxième suite exacte de la page 417 de loc.cit.). Dans le deuxième
groupe, la mesure d’un point est |(S
θ /S
θ,0 )(F v )|
−1 . L’homomorphisme naturel
S
θ /S
θ,0
→ I / ¯
G est un isomorphisme. La mesure d’un point dans H
1
ab (F v ; I ) est
donc |(I / ¯
G )(F v )|
−1 .
Par définition, E(I , G; F v ) est un sous-groupe de H
1
ab (F v ; I ). On le munit
de la mesure induite. La mesure d’un point est donc la même que précédemment.
Supposons v ∈ V . L’homomorphisme E(I , G; o v ) → E(I , G; F v ) est injectif. En effet, les deux groupes se plongent respectivement dans H
1
ab (o v ; I ) et
H
1
ab (F v ; I ) et l’homomorphisme H
1
ab (o v ; I ) → H
1
ab (F v ; I ) est injectif. Identifions
E(I , G; o v ) à un sous-groupe de E(I , G; F v ). Montrons que
(1)
mes(E(I , G; o v )) = 1.
D’après la définition de la mesure, cela équivaut à
(2)
|E(I , G; o v )| = |(I / ¯
G )(F v )|.
On utilise ici la définition de E(I , G; o v ) comme conoyau de
H
0
ab (o v ; G) → H
0
ab (o v ; I \G).