VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
903
Il est clair que ce diagramme est commutatif. Par définition, l’image de q 3 (Q 3 )
dans Q
est l’image de la suite verticale de gauche tandis que Im(e
V ) est l’image de
celle de droite. Pour prouver (5), il suffit donc de prouver que l’homomorphisme
(6) est surjectif. On peut aussi bien fixer v ∈ V et démontrer que l’analogue local
de (6) est surjectif. Comme on l’a dit, on peut remplacer le tore S et ses divers
avatars S sc etc. . . par un tore T et ses avatars T ,sc etc. . . comme au début du
paragraphe et on peut supposer que ce tore est non ramifié en v. L’analogue local
de (6) se factorise en
(7)
H
0
ab (o v ; G ) = H
1,0 (o v ; T ,sc → T /Z(G)
0 )
→ H
1,0 (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
1,0 (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
= H
0
ab (o v ; I \G).
La deuxième flèche est surjective car son conoyau s’envoie injectivement dans
H
2 (o v ; ¯
T ,sc ) qui est nul ([48] lemme C.1.A). L’homomorphisme entre complexes
de tores donnant naissance à la première flèche se complète en une suite exacte de
complexes de tores
1
↓
1
→
T
θ
/Z(G)
θ
↓
↓
T ,sc →
T /Z(G)
0
↓
↓ 1 − θ
T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
↓
↓
1
1 .
Le conoyau de la première flèche de (7) s’envoie donc injectivement dans
H
1 (o v ; T
θ
/Z(G)
θ ) qui est nul car T
θ
/Z(G)
θ est connexe ([48] lemme C.1.A). Cette
flèche est donc surjective. La surjectivité des deux flèches de (7) entraîne l’assertion
cherchée. Cela prouve (5).
Cette assertion prouve que le nombre d’éléments de E(I , G; A F /F )/ Im(e
V )
est égal à celui du quotient de Q par le sous-groupe engendré par les q j (Q j ) pour
j = 1, 2, 3. Ce sous-groupe n’est autre que Q 0 . Mais le lemme 6.6 dit que P
0 et
Q/Q 0 sont des groupes (finis) duaux. D’où l’égalité
|P
0
| = |Q/Q 0 |.
Le lemme en résulte.
VII.7.12 Un premier calcul de |P
0
||U|
−1
On définit usuellement le nombre de Tamagawa τ (G) de G, qui est calculé par la
formule rappelée en 3.2. Labesse étend la définition aux groupes quasi-connexes
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Il est clair que ce diagramme est commutatif. Par définition, l’image de q 3 (Q 3 )
dans Q
est l’image de la suite verticale de gauche tandis que Im(e
V ) est l’image de
celle de droite. Pour prouver (5), il suffit donc de prouver que l’homomorphisme
(6) est surjectif. On peut aussi bien fixer v ∈ V et démontrer que l’analogue local
de (6) est surjectif. Comme on l’a dit, on peut remplacer le tore S et ses divers
avatars S sc etc. . . par un tore T et ses avatars T ,sc etc. . . comme au début du
paragraphe et on peut supposer que ce tore est non ramifié en v. L’analogue local
de (6) se factorise en
(7)
H
0
ab (o v ; G ) = H
1,0 (o v ; T ,sc → T /Z(G)
0 )
→ H
1,0 (o v ; T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
1,0 (o v ; ¯
T ,sc → T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
= H
0
ab (o v ; I \G).
La deuxième flèche est surjective car son conoyau s’envoie injectivement dans
H
2 (o v ; ¯
T ,sc ) qui est nul ([48] lemme C.1.A). L’homomorphisme entre complexes
de tores donnant naissance à la première flèche se complète en une suite exacte de
complexes de tores
1
↓
1
→
T
θ
/Z(G)
θ
↓
↓
T ,sc →
T /Z(G)
0
↓
↓ 1 − θ
T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
↓
↓
1
1 .
Le conoyau de la première flèche de (7) s’envoie donc injectivement dans
H
1 (o v ; T
θ
/Z(G)
θ ) qui est nul car T
θ
/Z(G)
θ est connexe ([48] lemme C.1.A). Cette
flèche est donc surjective. La surjectivité des deux flèches de (7) entraîne l’assertion
cherchée. Cela prouve (5).
Cette assertion prouve que le nombre d’éléments de E(I , G; A F /F )/ Im(e
V )
est égal à celui du quotient de Q par le sous-groupe engendré par les q j (Q j ) pour
j = 1, 2, 3. Ce sous-groupe n’est autre que Q 0 . Mais le lemme 6.6 dit que P
0 et
Q/Q 0 sont des groupes (finis) duaux. D’où l’égalité
|P
0
| = |Q/Q 0 |.
Le lemme en résulte.
VII.7.12 Un premier calcul de |P
0
||U|
−1
On définit usuellement le nombre de Tamagawa τ (G) de G, qui est calculé par la
formule rappelée en 3.2. Labesse étend la définition aux groupes quasi-connexes