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Chapitre VII. Descente globale
Lemme. On a l’égalité |P
0
| = |E(I , G; A F /F )/ Im(e
V )|.
Preuve. Comme on l’a dit ci-dessus, on peut utiliser le complexe (3) pour calculer
la cohomologie abélienne de I \G. Il s’en déduit une suite exacte de cohomologie
H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S))
ι
→ H
0
ab (A F /F ; I \G) → H
2 (A F /F ; ¯
S sc ).
On se rappelle que ¯
S sc ¯
S ¯
H est un sous-tore elliptique de ¯
H et que H est une
donnée endoscopique elliptique de ¯
G . Il en résulte que ¯
S sc est elliptique, donc
H
2 (A F /F ; ¯
S sc ) = 0 d’après les isomorphismes de Tate–Nakayama ([45] 3.4.2.1).
Avec les notations des paragraphes précédents, la suite exacte ci-dessus se récrit
Q 1
q1
→ Q
ι
→ H
0
ab (A F /F ; I \G) → 0 .
On voit facilement que l’homomorphisme naturel
(4)
H
0
ab (A F ; G) → H
0
ab (A F /F ; I \G)
est le composé de l’homomorphisme naturel du groupe de départ dans Q 2 et de
ι ◦ q 2 . Notons Q
le quotient de Q par le sous-groupe engendré par q 1 (Q 1 ) et
q 2 (Q 2 ). On obtient que ι se quotiente en un isomorphisme entre Q
et le conoyau
de (4), c’est-à-dire E(I , G; A F /F ). Montrons que
(5) cet isomorphisme envoie l’image dans Q
de q 3 (Q 3 ) sur Im(e
V ).
Du diagramme
S sc →
S/Z(G)
θ
↓ 1 − θ
¯
S sc
¯
π,sc
→ S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)
de complexes de tores se déduit un homomorphisme
H
0
ab (A F ; G ) → H
0
ab (A F ; I \G).
Il se restreint en un homomorphisme
(6)
H
0
ab (o
V ; G ) → H
0
ab (o
V ; I \G).
On obtient un diagramme
H
0
ab (o
V ; G )
→
H
0
ab (o
V ; I \G)
↓
↓
H
0
ab (A F ; G )
→
H
0
ab (A F ; I \G)
↓
↓
H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S))
→
H
0
ab (A F ; I \G)
↓
↓
H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
0
ab (A F /F ; I \G)
↓
↓
Q
ι
→
E(I , G; A F /F ) .