VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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On pose aussi H
0
ab (o
V ; I \G) =
v ∈V H
0
ab (o v ; I \G). Des notations analogues
seront utilisées dans la suite. Ces définitions ne dépendent pas du choix de ¯
T ,
à isomorphismes canoniques près.
Les isomorphismes
T × T ,sc →
T × T ,sc
(y, z)
→ (y + π(z), −z)
et
(1 − θ)(T ) × T →
T × (1 − θ)(T )
(y
, z
)
→ (z
, y
− (1 − θ)(z
))
fournissent un isomorphisme entre le complexe (1) et la somme des deux complexes
(2)
¯
T ,sc
¯
π,sc
→ T ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T )
et T
id
→ T . Puisque le deuxième complexe est cohomologiquement trivial, la
cohomologie de I \G peut se définir à l’aide du complexe (2). Comme en 6.2, on
voit que l’on peut remplacer le complexe (2) par
(3)
¯
S sc
¯
π,sc
→ S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S).
En effet, les deux complexes sont quasi-isomorphes au complexe
Z( ¯
G )
¯
π,sc
→ Z(I ,sc )
1−θ
→ (1 − θ)(Z(G)).
On a une suite exacte
H
0
ab (F ; G) → H
0
ab (F ; I \G) → H
1
ab (F ; I ) → H
1
ab (F ; G).
Labesse définit E(I , G; F ) comme le conoyau de la première flèche, ou encore le
noyau de la troisième. Cf. [52] 3.3. On définit de même E(I , G; A F ), E(I , G; F v )
pour v ∈ Val(F ) et E(I , G; o v ) pour v ∈ V .
Attention. Labesse définit par contre E(I , G; A F /F ) comme le conoyau de l’homomorphisme composé
H
0
ab (A F ; G) → H
0
ab (A F /F, G) → H
0
ab (A F /F ; I \G).
On a un diagramme commutatif
H
0
ab (o
V ; G) →
H
0
ab (o
V ; I \G)
→
E(I , G; o
V )
→ 1
↓
↓
↓
H
0
ab (A F ; G) →
H
0
ab (A F ; I \G)
→
E(I , G; A F )
→ 1
↓
↓
↓
H
0
ab (A F ; G) → H
0
ab (A F /F ; I \G) → E(I , G; A F /F ) → 1
dont les suites horizontales sont exactes. Notons
e
V : E(I , G; o
V ) → E(I , G; A F /F )
le composé des deux dernières flèches verticales.