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Chapitre VII. Descente globale
Autrement dit, p ∈ P (H). Donc cet ensemble n’est pas vide. Alors J (H) ne
l’est pas non plus d’après la proposition 6.4. Cela prouve la proposition 7.1.
VII.7.10 Calcul d’une constante
On a fixé une fois pour toutes une mesure sur A ˜
G . En 5.8, on a défini le réseau
A ˜
G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF ,θ , Z) ⊂ A ˜
G et on a noté covol(A ˜
G,Z ) le volume du quotient A ˜
G /A ˜
G,Z . La donnée X est elliptique, cf. 5.1(2). Pour tout d ∈ D F [d V ],
l’élément η[d] est donc elliptique (cf. fin de 1.2). Il en résulte que A G η[d] = A ˜
G .
On définit dans cet espace le réseau A G η[d] ,Z = Hom(X
∗ (G η[d] )
ΓF , Z) et on note
covol(A G η[d] ,Z ) le volume du quotient A ˜
G /A G η[d] ,Z .
Proposition. Supposons D F [d V ] non vide. Alors, pour tout d ∈ D F [d V ], on a
l’égalité
|P
0
|| ˙
D F [d V ]|
−1 = C( ˜
G)
−1 τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1
[I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )] covol(A G η[d] ,Z )
−1 .
On renvoie à 5.8 pour la définition de C( ˜
G). La preuve occupe les paragraphes
7.11 à 7.15.
VII.7.11 Calcul de |P
0
|
Labesse définit des groupes de cohomologie abélienne de I \G, cf. [52] 3.3. Considérons comme en 7.3 un sous-tore maximal ¯
T de I défini sur F , notons T son
commutant dans G et introduisons les images réciproques ¯
T ,sc de ¯
T dans ¯
G
et T ,sc de T dans G SC . On a un complexe de tores
¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T .
En notant ¯
π : ¯
G ,SC → G, ¯
π ,sc : ¯
G ,SC → G SC et π : G SC → G les homomorphismes naturels, les flèches sont
x → (¯ π (x), −¯ π ,sc (x))
pour la première et
(y, z) → ((1 − θ)(y), y + π(z))
pour la seconde. On pose
H
0
ab (F ; I \G) = H
2,1,0 (F ; ¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T ).
On définit de même H
0
ab (A F ; I \G), H
0
ab (A F /F ; I \G) et H
0
ab (F v ; I \G) pour v ∈
Val(F ). Pour v ∈ V , on peut choisir T non ramifié en v et on pose
H
0
ab (o v ; I \G) = H
2,1,0 (o v ; ¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T ).
Chapitre VII. Descente globale
Autrement dit, p ∈ P (H). Donc cet ensemble n’est pas vide. Alors J (H) ne
l’est pas non plus d’après la proposition 6.4. Cela prouve la proposition 7.1.
VII.7.10 Calcul d’une constante
On a fixé une fois pour toutes une mesure sur A ˜
G . En 5.8, on a défini le réseau
A ˜
G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF ,θ , Z) ⊂ A ˜
G et on a noté covol(A ˜
G,Z ) le volume du quotient A ˜
G /A ˜
G,Z . La donnée X est elliptique, cf. 5.1(2). Pour tout d ∈ D F [d V ],
l’élément η[d] est donc elliptique (cf. fin de 1.2). Il en résulte que A G η[d] = A ˜
G .
On définit dans cet espace le réseau A G η[d] ,Z = Hom(X
∗ (G η[d] )
ΓF , Z) et on note
covol(A G η[d] ,Z ) le volume du quotient A ˜
G /A G η[d] ,Z .
Proposition. Supposons D F [d V ] non vide. Alors, pour tout d ∈ D F [d V ], on a
l’égalité
|P
0
|| ˙
D F [d V ]|
−1 = C( ˜
G)
−1 τ (G η[d] )[I η[d] (F ) : G η[d] (F )]
−1
[I η[d] (F V ) : G η[d] (F V )] covol(A G η[d] ,Z )
−1 .
On renvoie à 5.8 pour la définition de C( ˜
G). La preuve occupe les paragraphes
7.11 à 7.15.
VII.7.11 Calcul de |P
0
|
Labesse définit des groupes de cohomologie abélienne de I \G, cf. [52] 3.3. Considérons comme en 7.3 un sous-tore maximal ¯
T de I défini sur F , notons T son
commutant dans G et introduisons les images réciproques ¯
T ,sc de ¯
T dans ¯
G
et T ,sc de T dans G SC . On a un complexe de tores
¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T .
En notant ¯
π : ¯
G ,SC → G, ¯
π ,sc : ¯
G ,SC → G SC et π : G SC → G les homomorphismes naturels, les flèches sont
x → (¯ π (x), −¯ π ,sc (x))
pour la première et
(y, z) → ((1 − θ)(y), y + π(z))
pour la seconde. On pose
H
0
ab (F ; I \G) = H
2,1,0 (F ; ¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T ).
On définit de même H
0
ab (A F ; I \G), H
0
ab (A F /F ; I \G) et H
0
ab (F v ; I \G) pour v ∈
Val(F ). Pour v ∈ V , on peut choisir T non ramifié en v et on pose
H
0
ab (o v ; I \G) = H
2,1,0 (o v ; ¯
T ,sc → T × T ,sc → (1 − θ)(T ) × T ).