VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
899
L’automorphisme ad i V,ad conserve X (x). Par changement de variables, l’égalité (8)
se récrit
S
¯
H (x, ¯
f [y]) = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1
x∈X (x)
Δ ,V (x, ad i V,ad (x))I
¯
G,SC (x, f ,sc )
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad )
−1 ,
où g = (g v ) v∈Val(F ) . Mais on a l’égalité Δ ,V (x, ad i V,ad (x)) = ω ¯
H (i
−1
V,ad )Δ ,V (x, x),
cf. [I] 2.7. D’où
S
¯
H (x, ¯
f [y]) = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1 ω ¯
H (i ad )
−1
x∈X (x)
Δ ,V (x, x)I
¯
G,SC (x, f ,sc ),
où i = (i v ) v∈Val(F ) . La somme du membre de droite n’est autre que S
¯
H (x, ¯
f ).
D’où l’égalité
¯
f [y] = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1 ω ¯
H (i ad )
−1 ¯
f .
En reprenant les définitions, on voit que ω(g)ω ¯
H (i ad ) = ω ∞ ◦ q ∞ (u y ). L’égalité
(5) s’en déduit, ce qui achève la démonstration.
VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1
On suppose D F [d V ] non vide car sinon la proposition 7.1 est triviale, ainsi qu’on
l’a dit en 7.3. On utilise les constructions de 7.3. On suppose que l’ensemble de
places V
satisfait les conditions 7.1(2) et 7.4(2). Supposons ¯
ϕ[V
, d V ] = 0. D’après
le lemme 7.4, ω et ω ¯
H coïncident sur I (A F ), c’est-à-dire que l’hypothèse (1) de
7.8 est vérifiée. Le lemme de ce paragraphe implique que ω ∞ est trivial sur l’image
de q ∞ . Puisque cette image est le noyau de q 0 , cf. lemme 7.7, ω ∞ se quotiente en
un caractère de l’image de q 0 . Cette image est le groupe Q 0 de 6.6. C’est un sousgroupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q, cf. lemme 6.6. On vérifie aisément que
le caractère ainsi défini de Q 0 est continu. Il se prolonge donc en un caractère ω Q
de Q. D’après 6.5(1), ce caractère s’identifie à un élément p ∈ P . Par construction,
on a
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme q 1 : Q 1 → Q est le caractère de
Q 1 associé à l’élément ¯
s ∈ ˆ ¯
S
ΓF
ad ;
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme G ab (A F ) → Q 2
q2
→ Q est le caractère ω ;
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme q 3 : Q 3 → Q est trivial.
Les mêmes calculs qu’en 6.5 montrent que ces propriétés sont respectivement
équivalentes à
– p 1 (p) = ¯
s ;
– p 2 (p) = a ;
– pour tout v ∈ V , res Iv (p) appartient à l’image de ϕ v .
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L’automorphisme ad i V,ad conserve X (x). Par changement de variables, l’égalité (8)
se récrit
S
¯
H (x, ¯
f [y]) = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1
x∈X (x)
Δ ,V (x, ad i V,ad (x))I
¯
G,SC (x, f ,sc )
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad )
−1 ,
où g = (g v ) v∈Val(F ) . Mais on a l’égalité Δ ,V (x, ad i V,ad (x)) = ω ¯
H (i
−1
V,ad )Δ ,V (x, x),
cf. [I] 2.7. D’où
S
¯
H (x, ¯
f [y]) = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1 ω ¯
H (i ad )
−1
x∈X (x)
Δ ,V (x, x)I
¯
G,SC (x, f ,sc ),
où i = (i v ) v∈Val(F ) . La somme du membre de droite n’est autre que S
¯
H (x, ¯
f ).
D’où l’égalité
¯
f [y] = ω(h )ω(h[y])
−1 ω(g)
−1 ω ¯
H (i ad )
−1 ¯
f .
En reprenant les définitions, on voit que ω(g)ω ¯
H (i ad ) = ω ∞ ◦ q ∞ (u y ). L’égalité
(5) s’en déduit, ce qui achève la démonstration.
VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1
On suppose D F [d V ] non vide car sinon la proposition 7.1 est triviale, ainsi qu’on
l’a dit en 7.3. On utilise les constructions de 7.3. On suppose que l’ensemble de
places V
satisfait les conditions 7.1(2) et 7.4(2). Supposons ¯
ϕ[V
, d V ] = 0. D’après
le lemme 7.4, ω et ω ¯
H coïncident sur I (A F ), c’est-à-dire que l’hypothèse (1) de
7.8 est vérifiée. Le lemme de ce paragraphe implique que ω ∞ est trivial sur l’image
de q ∞ . Puisque cette image est le noyau de q 0 , cf. lemme 7.7, ω ∞ se quotiente en
un caractère de l’image de q 0 . Cette image est le groupe Q 0 de 6.6. C’est un sousgroupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q, cf. lemme 6.6. On vérifie aisément que
le caractère ainsi défini de Q 0 est continu. Il se prolonge donc en un caractère ω Q
de Q. D’après 6.5(1), ce caractère s’identifie à un élément p ∈ P . Par construction,
on a
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme q 1 : Q 1 → Q est le caractère de
Q 1 associé à l’élément ¯
s ∈ ˆ ¯
S
ΓF
ad ;
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme G ab (A F ) → Q 2
q2
→ Q est le caractère ω ;
– le composé de ω Q et de l’homomorphisme q 3 : Q 3 → Q est trivial.
Les mêmes calculs qu’en 6.5 montrent que ces propriétés sont respectivement
équivalentes à
– p 1 (p) = ¯
s ;
– p 2 (p) = a ;
– pour tout v ∈ V , res Iv (p) appartient à l’image de ϕ v .