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Chapitre VII. Descente globale
ω(m v ) = ω(g v h v [y]h
−1
,v ). On rappelle que h[y] = (h v [y]) v ∈V et que de même
h = (h ,v ) v ∈V . La formule plus haut se récrit
Δ
V [y] = ω(h )ω(h[y])
−1 Δ ,V
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad )
−1 ω(g v )
−1 .
La formule (6) se récrit
(8)
S
¯
H (x, ¯
f [y]) = ω(h )ω(h[y])
−1
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad )
−1 ω(g v )
−1
x∈X (x)
Δ ,V (x, x)I
¯
G,SC (x, f [y] sc ◦ ad y −1 ).
La fonction f [y] sc ◦ad y −1 est l’image par ι ¯
G,SC , ¯
G de f [y]◦ad y −1 . Pour un élément
x ∈ ¯
G (F V ) en position générale et proche de 1, on a
I
¯
G (x, ω, f [y] ◦ ad y −1 ) = I
G η[y] (ad y −1 (x), ω, f[y])
= I
˜
G (ad y −1 (x)η[y], ω, f)
= I
˜
G (ad y −1 (xη ), ω, f).
Le terme ad y −1 (xη ) est un élément de ˜
G(F V ). On rappelle que k v = 1 pour
v ∈ V . On a donc précisément ad y −1 (xη ) = ad g
−1
V i
−1
V
(xη ) où, par exemple,
g V = (g v ) v∈V . On a
I
˜
G (ad g
−1
V i
−1
V
(xη ), ω, f) = ω(g V )
−1 I
˜
G (ad i
−1
V
(xη ), ω, f)
= ω(g V )
−1 I
˜
G (ad i
−1
V
(x)η , ω, f)
= ω(g
−1
V )I
¯
G (ad i
−1
V
(x), ω, f ),
où on rappelle que f = desc
˜
G
η (f ). L’automorphisme ad iV de ¯
G est défini sur F V
et conserve le caractère ω ¯
H de ¯
G (F V ), lequel est égal à ω. Il en résulte que
I
¯
G (ad i
−1
V
(x), ω, f ) = I
¯
G (x, ω, f ◦ ad i
−1
V
).
En rassemblant ces calculs, on obtient l’égalité f [y] ◦ ad y −1 = ω(g
−1
V )f ◦ ad i
−1
V
.
D’où aussi f [y] sc ◦ ad y −1 = ω(g
−1
V )f ,sc ◦ ad i
−1
V,ad
où i V,ad est l’image de i V dans
¯
G ,AD (F V ). Pour x ∈ X (x), on a
I
¯
G,SC (x, f [y] sc ◦ ad y −1 ) = ω(g
−1
V )I
¯
G,SC (x, f ,sc ◦ ad i
−1
V,ad
)
= ω(g
−1
V )I
¯
G,SC (ad i
−1
V,ad
(x), f ,sc ).