VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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existe un unique g v ∈ G(F v ) tel que y = i v k v g v . Pour v ∈ V , les éléments h v [y] et
h ,v = h v [1] de G(F v ) ont été fixés tels que ad h
−1
,v
(η ) ∈ ˜
K v et ad hv[y] −1 (η[y]) ∈ ˜
K v .
On a
ad hv [y] −1 (η[y]) ∈ ˜
K v ⇐⇒ ad hv[y] −1 y −1 (η ) ∈ ˜
K v
⇐⇒ ad hv[y] −1 g
−1
v k
−1
v i
−1
v
(η ) ∈ ˜
K v .
Puisque ad i
−1
v
(η ) = η , ces relations sont encore équivalentes à
ad hv[y] −1 g
−1
v k
−1
v
(η ) ∈ ˜
K v .
Posons g
v = ad kv (g v h v [y]). On sait que g
v ∈ G(F v ). La relation précédente équivaut à ad k
−1
v g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v , ou encore ad g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v puisque ad kv conserve cet
ensemble. On a encore l’équivalence
ad g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v ⇐⇒ ad g
v
−1 h,v (ad h
−1
,v
(η )) ∈ ˜
K v .
Ainsi qu’on l’a déjà fait plusieurs fois, on peut appliquer à ad h
−1
,v
(η ) le lemme
5.6(ii) de [79]. Il implique h
−1
,v g
v ∈ G ad h
−1
,v
(η) (F v )K v . On peut donc fixer m v ∈
¯
G (F v ) et k
v ∈ K v de sorte que h
−1
,v g
v = ad h
−1
,v
(m v )k
v .
Cela équivaut à k v g v h v [y] = m v h ,v k
v k v . Le groupe ad y (K sc,v [y]) est l’image
réciproque dans ¯
G ,SC (F v ) de ad yhv[y] (K v ) ∩ ¯
G (F v ). On a
ad yhv[y] (K v ) = ad iv kv gv hv [y] (K v ) = ad iv mv h,vk
v kv (K v ) = ad iv mvh,v (K v ),
puisque ad k
v kv conserve K v . Notons K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ) et K ,sc,v son
image réciproque dans ¯
G (F v ). On obtient l’égalité ad yhv[y] (K v ) ∩ ¯
G (F v ) =
ad iv mv (K ,v ). L’automorphisme ad iv mv de ¯
G se relève en un automorphisme de
¯
G ,SC noté de la même façon. D’où l’égalité
(7)
ad y (K sc,v [y]) = ad iv mv (K ,sc,v ).
On note Δ ,V = Δ V [1]. Rappelons que c’est le facteur de transfert sur ¯
H(F V ) ×
¯
G ,SC (F V ) associé aux choix de compacts K pour v ∈ V . A l’aide de la
formule (7), le même calcul que dans la preuve du lemme 7.4 conduit à l’égalité
Δ
V [y] = Δ ,V
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad m v,ad )
−1 ,
où i v,ad et m v,ad sont les images de i v et m v dans ¯
G F,AD (F v ). Soit v ∈ V . D’après
l’hypothèse (1), on a ω ¯
H (m v,ad ) = ω(m v ). Par définition, on a
m v = ad kv (g v h v [y])(k
v )
−1 h
−1
,v .
Le caractère ω est non ramifié en v, donc trivial sur K v . On a déjà remarqué
qu’il était invariant par conjugaison par un élément de G (F v ). Il en résulte que
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existe un unique g v ∈ G(F v ) tel que y = i v k v g v . Pour v ∈ V , les éléments h v [y] et
h ,v = h v [1] de G(F v ) ont été fixés tels que ad h
−1
,v
(η ) ∈ ˜
K v et ad hv[y] −1 (η[y]) ∈ ˜
K v .
On a
ad hv [y] −1 (η[y]) ∈ ˜
K v ⇐⇒ ad hv[y] −1 y −1 (η ) ∈ ˜
K v
⇐⇒ ad hv[y] −1 g
−1
v k
−1
v i
−1
v
(η ) ∈ ˜
K v .
Puisque ad i
−1
v
(η ) = η , ces relations sont encore équivalentes à
ad hv[y] −1 g
−1
v k
−1
v
(η ) ∈ ˜
K v .
Posons g
v = ad kv (g v h v [y]). On sait que g
v ∈ G(F v ). La relation précédente équivaut à ad k
−1
v g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v , ou encore ad g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v puisque ad kv conserve cet
ensemble. On a encore l’équivalence
ad g
v
−1 (η ) ∈ ˜
K v ⇐⇒ ad g
v
−1 h,v (ad h
−1
,v
(η )) ∈ ˜
K v .
Ainsi qu’on l’a déjà fait plusieurs fois, on peut appliquer à ad h
−1
,v
(η ) le lemme
5.6(ii) de [79]. Il implique h
−1
,v g
v ∈ G ad h
−1
,v
(η) (F v )K v . On peut donc fixer m v ∈
¯
G (F v ) et k
v ∈ K v de sorte que h
−1
,v g
v = ad h
−1
,v
(m v )k
v .
Cela équivaut à k v g v h v [y] = m v h ,v k
v k v . Le groupe ad y (K sc,v [y]) est l’image
réciproque dans ¯
G ,SC (F v ) de ad yhv[y] (K v ) ∩ ¯
G (F v ). On a
ad yhv[y] (K v ) = ad iv kv gv hv [y] (K v ) = ad iv mv h,vk
v kv (K v ) = ad iv mvh,v (K v ),
puisque ad k
v kv conserve K v . Notons K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ) et K ,sc,v son
image réciproque dans ¯
G (F v ). On obtient l’égalité ad yhv[y] (K v ) ∩ ¯
G (F v ) =
ad iv mv (K ,v ). L’automorphisme ad iv mv de ¯
G se relève en un automorphisme de
¯
G ,SC noté de la même façon. D’où l’égalité
(7)
ad y (K sc,v [y]) = ad iv mv (K ,sc,v ).
On note Δ ,V = Δ V [1]. Rappelons que c’est le facteur de transfert sur ¯
H(F V ) ×
¯
G ,SC (F V ) associé aux choix de compacts K pour v ∈ V . A l’aide de la
formule (7), le même calcul que dans la preuve du lemme 7.4 conduit à l’égalité
Δ
V [y] = Δ ,V
v ∈V
ω ¯
H (i v,ad m v,ad )
−1 ,
où i v,ad et m v,ad sont les images de i v et m v dans ¯
G F,AD (F v ). Soit v ∈ V . D’après
l’hypothèse (1), on a ω ¯
H (m v,ad ) = ω(m v ). Par définition, on a
m v = ad kv (g v h v [y])(k
v )
−1 h
−1
,v .
Le caractère ω est non ramifié en v, donc trivial sur K v . On a déjà remarqué
qu’il était invariant par conjugaison par un élément de G (F v ). Il en résulte que