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Chapitre VII. Descente globale
permet de simplifier la formule 7.1(3). La preuve du lemme 7.4 montre en effet
que, sous cette hypothèse (1), on a l’égalité ω(uh[y]) ¯
f [y, u] = ω(h[y]) ¯
f [y, 1] pour
tout y ∈ ˙
Y [d V ] et tout u ∈ U[V
, y]. Posons simplement ¯
f [y] = ¯
f [y, 1]. On a donc
(4)
¯
ϕ[V
, d V ] =
y∈ ˙
Y[dV ]
ω(h[y]) ¯
f [y].
Soit y ∈ ˙
Y [d V ], notons u y : Γ F → Z(I ; ¯
F ) le cocycle défini par u y (σ) = yσ(y)
−1 .
On note encore u y son image dans H
1 (F ; I ). C’est un élément de U (lemme 7.5).
On va prouver
(5)
ω(h[y]) ¯
f [y] = ω ∞ ◦ q ∞ (u y )
−1 ω(h ) ¯
f ,
où on rappelle que h = h[1] et ¯
f = ¯
f [1]. En admettant ce résultat, et en utilisant
le lemme 7.5, la formule (4) se récrit
¯
ϕ[V
, d V ] = ω(h ) ¯
f
u∈U
ω ∞ ◦ q ∞ (u)
−1 .
Le lemme en résulte.
Il s’agit donc de prouver (5). On considère y comme ci-dessus. Soit x ∈ ¯
H(F V )
un élément en position générale et proche de 1. Par définition,
S
¯
H (x, ¯
f [y]) =
x
Δ V [y](x, x)I
G η[y],SC (x, f [y] sc ).
Ici, x parcourt, modulo conjugaison par G η[y],SC (F V ), l’ensemble des éléments
de ce groupe qui correspondent à x. Le facteur Δ V [y] est le facteur de transfert canonique associé aux choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux K sc,v [y]
de G η[y],SC (F v ) pour v ∈ V . On rappelle que K sc,v [y] est l’image réciproque de
K v [y] = ad hv [y] (K v ) ∩ G η[y] (F v ). Enfin, on a rappelé dans la preuve du lemme 7.4
la construction de la fonction f [y] sc . D’après 7.3(1), ad y est un isomorphisme
défini sur F de G η[y] sur ¯
G = G η . Il se relève en un tel isomorphisme de
G η[y],SC sur ¯
G ,SC que l’on note encore ad y . Cet isomorphisme envoie l’ensemble
des éléments de G η[y],SC (F V ) qui correspondent à x sur l’ensemble des éléments
de ¯
G ,SC (F V ) qui correspondent à x. Notons X (x) ce dernier ensemble. Introduisons le facteur de transfert Δ
V [y] sur ¯
H(F V ) × ¯
G (F V ) associé aux sousgroupes compacts hyperspéciaux ad y (K sc,v [y]) de ¯
G (F v ) pour v ∈ V . On a
Δ
V [y](x
, x
) = Δ V [y](x
, ad y −1 (x
)) pour tout (x
, x
) ∈ ¯
H(F V ) × ¯
G ,SC (F V ). Par
simple transport de structure, on obtient
(6)
S
¯
H (x, ¯
f [y]) =
x∈X (x)
Δ
V [y](x, x)I
¯
G,SC (x, f [y] sc ◦ ad y −1 ).
Pour toute place v, on fixe des éléments i v et k v associés à u y comme en 7.6.
En particulier, on a u y (σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . Cela implique qu’il
Chapitre VII. Descente globale
permet de simplifier la formule 7.1(3). La preuve du lemme 7.4 montre en effet
que, sous cette hypothèse (1), on a l’égalité ω(uh[y]) ¯
f [y, u] = ω(h[y]) ¯
f [y, 1] pour
tout y ∈ ˙
Y [d V ] et tout u ∈ U[V
, y]. Posons simplement ¯
f [y] = ¯
f [y, 1]. On a donc
(4)
¯
ϕ[V
, d V ] =
y∈ ˙
Y[dV ]
ω(h[y]) ¯
f [y].
Soit y ∈ ˙
Y [d V ], notons u y : Γ F → Z(I ; ¯
F ) le cocycle défini par u y (σ) = yσ(y)
−1 .
On note encore u y son image dans H
1 (F ; I ). C’est un élément de U (lemme 7.5).
On va prouver
(5)
ω(h[y]) ¯
f [y] = ω ∞ ◦ q ∞ (u y )
−1 ω(h ) ¯
f ,
où on rappelle que h = h[1] et ¯
f = ¯
f [1]. En admettant ce résultat, et en utilisant
le lemme 7.5, la formule (4) se récrit
¯
ϕ[V
, d V ] = ω(h ) ¯
f
u∈U
ω ∞ ◦ q ∞ (u)
−1 .
Le lemme en résulte.
Il s’agit donc de prouver (5). On considère y comme ci-dessus. Soit x ∈ ¯
H(F V )
un élément en position générale et proche de 1. Par définition,
S
¯
H (x, ¯
f [y]) =
x
Δ V [y](x, x)I
G η[y],SC (x, f [y] sc ).
Ici, x parcourt, modulo conjugaison par G η[y],SC (F V ), l’ensemble des éléments
de ce groupe qui correspondent à x. Le facteur Δ V [y] est le facteur de transfert canonique associé aux choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux K sc,v [y]
de G η[y],SC (F v ) pour v ∈ V . On rappelle que K sc,v [y] est l’image réciproque de
K v [y] = ad hv [y] (K v ) ∩ G η[y] (F v ). Enfin, on a rappelé dans la preuve du lemme 7.4
la construction de la fonction f [y] sc . D’après 7.3(1), ad y est un isomorphisme
défini sur F de G η[y] sur ¯
G = G η . Il se relève en un tel isomorphisme de
G η[y],SC sur ¯
G ,SC que l’on note encore ad y . Cet isomorphisme envoie l’ensemble
des éléments de G η[y],SC (F V ) qui correspondent à x sur l’ensemble des éléments
de ¯
G ,SC (F V ) qui correspondent à x. Notons X (x) ce dernier ensemble. Introduisons le facteur de transfert Δ
V [y] sur ¯
H(F V ) × ¯
G (F V ) associé aux sousgroupes compacts hyperspéciaux ad y (K sc,v [y]) de ¯
G (F v ) pour v ∈ V . On a
Δ
V [y](x
, x
) = Δ V [y](x
, ad y −1 (x
)) pour tout (x
, x
) ∈ ¯
H(F V ) × ¯
G ,SC (F V ). Par
simple transport de structure, on obtient
(6)
S
¯
H (x, ¯
f [y]) =
x∈X (x)
Δ
V [y](x, x)I
¯
G,SC (x, f [y] sc ◦ ad y −1 ).
Pour toute place v, on fixe des éléments i v et k v associés à u y comme en 7.6.
En particulier, on a u y (σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . Cela implique qu’il