VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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Montrons que
(2) pour 1 ≤ j < j
≤ 3, ω × est trivial sur l’image de q j,j .
Preuve. Pour j = 2 et j
= 3, cela résulte de la non-ramification de ω hors de V ,
qui implique que ω est trivial sur K v pour v ∈ V . Pour j = 1, cela va résulter de
la propriété
(3) le composé de ω 1 et de l’homomorphisme H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ) → Q 1 est le caractère ω H ,
que l’on prouvera ci-dessous. L’homomorphisme Q 1,2 → Q 1 se factorisant par
un homomorphisme naturel Q 1,2 → H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1
et j
= 2 résulte, grâce à (3), de l’hypothèse que ω coïncide sur I (A F ) avec le
caractère de ce groupe déduit de ω H . L’homomorphisme Q 1,3 → Q 1 se factorisant
par un homomorphisme naturel Q 1,3 → H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1
et j
= 3 résulte, grâce à (3), de la non-ramification de ω H hors de V qui implique
que ω H est trivial sur K ,ad,v pour v ∈ V . Cela prouve (2).
Preuve de (3). On reprend la construction de ω H donnée en [I] 2.7. Elle se simplifie
puisqu’il n’y a pas ici de torsion. On fixe un relèvement ¯
s sc ∈ ˆ ¯
T sc de ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad .
Pour tout w ∈ W F , on fixe (¯ g(w), w) ∈ ˆ
H tel que l’action galoisienne sur ˆ ¯
H soit
w → w ¯
H = ad ¯
gw ◦w ¯
G . On fixe un relèvement ¯
g sc (w) ∈ ˆ ¯
G SC de ¯
g(w). On définit
le cocycle a sc (w) = ¯
s sc ¯
g sc (w)w ¯
G (¯ s sc )
−1 ¯
g sc (w)
−1 . Il est à valeurs dans Z( ˆ ¯
G SC )
et ω ¯
H est le caractère de ¯
G AD (A F ) associé à ce cocycle. Remarquons que l’on a
aussi a sc (w) = ¯
s sc w ¯
H (¯ s sc )
−1 . On peut identifier ˆ ¯
S sc au tore ˆ ¯
T sc muni d’une action
galoisienne σ → σ S . Celle-ci est de la forme σ S = ω S, ¯
H (σ) ◦ σ ¯
H , où ω S, ¯
H est
un cocycle à valeurs dans W
¯
H . Un élément ω S, ¯
H (σ) se représente comme l’action
adjointe d’un élément du centralisateur de ¯
s sc dans ˆ ¯
G SC . Il en résulte que
w S (¯ s sc ) = ω S, ¯
H (w)(w ¯
H (¯ s sc )) = ω S, ¯
H (w)(a sc (w)
−1 ¯
s sc ) = a sc (w)
−1 ¯
s sc .
Donc a sc (w) = ¯
s sc w S (¯ s sc )
−1 . Ce cocycle est l’image naturelle de l’élément de
H
1,0 (W F ; ˆ ¯
S sc → ˆ ¯
S ad ) dont la première composante est a sc et la seconde est triviale.
Mais ce cocycle est cohomologue à celui dont la première composante est triviale
et la seconde est ¯
s. Celui-ci définit le caractère ω 1 de Q 1 . L’assertion (3) résulte
de cela par dualité.
Grâce à (2), le caractère ω × de Q × se quotiente en un caractère noté ω ∞ de Q ∞ .
Lemme. Si ω ∞ n’est pas trivial sur l’image de l’homomorphisme q ∞ , alors
¯
ϕ[V
, d V ] = 0.
Preuve. La fonction ¯
ϕ[V
, d V ] est définie par la formule 7.1(3). Conformément
aux bijections de 7.3, on la récrit en remplaçant l’ensemble de sommation ˙
D F [d V ]
et ses éléments d par ˙
Y [d V ] et ses éléments y. L’hypothèse (1) posée ci-dessus
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Montrons que
(2) pour 1 ≤ j < j
≤ 3, ω × est trivial sur l’image de q j,j .
Preuve. Pour j = 2 et j
= 3, cela résulte de la non-ramification de ω hors de V ,
qui implique que ω est trivial sur K v pour v ∈ V . Pour j = 1, cela va résulter de
la propriété
(3) le composé de ω 1 et de l’homomorphisme H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ) → Q 1 est le caractère ω H ,
que l’on prouvera ci-dessous. L’homomorphisme Q 1,2 → Q 1 se factorisant par
un homomorphisme naturel Q 1,2 → H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1
et j
= 2 résulte, grâce à (3), de l’hypothèse que ω coïncide sur I (A F ) avec le
caractère de ce groupe déduit de ω H . L’homomorphisme Q 1,3 → Q 1 se factorisant
par un homomorphisme naturel Q 1,3 → H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1
et j
= 3 résulte, grâce à (3), de la non-ramification de ω H hors de V qui implique
que ω H est trivial sur K ,ad,v pour v ∈ V . Cela prouve (2).
Preuve de (3). On reprend la construction de ω H donnée en [I] 2.7. Elle se simplifie
puisqu’il n’y a pas ici de torsion. On fixe un relèvement ¯
s sc ∈ ˆ ¯
T sc de ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad .
Pour tout w ∈ W F , on fixe (¯ g(w), w) ∈ ˆ
H tel que l’action galoisienne sur ˆ ¯
H soit
w → w ¯
H = ad ¯
gw ◦w ¯
G . On fixe un relèvement ¯
g sc (w) ∈ ˆ ¯
G SC de ¯
g(w). On définit
le cocycle a sc (w) = ¯
s sc ¯
g sc (w)w ¯
G (¯ s sc )
−1 ¯
g sc (w)
−1 . Il est à valeurs dans Z( ˆ ¯
G SC )
et ω ¯
H est le caractère de ¯
G AD (A F ) associé à ce cocycle. Remarquons que l’on a
aussi a sc (w) = ¯
s sc w ¯
H (¯ s sc )
−1 . On peut identifier ˆ ¯
S sc au tore ˆ ¯
T sc muni d’une action
galoisienne σ → σ S . Celle-ci est de la forme σ S = ω S, ¯
H (σ) ◦ σ ¯
H , où ω S, ¯
H est
un cocycle à valeurs dans W
¯
H . Un élément ω S, ¯
H (σ) se représente comme l’action
adjointe d’un élément du centralisateur de ¯
s sc dans ˆ ¯
G SC . Il en résulte que
w S (¯ s sc ) = ω S, ¯
H (w)(w ¯
H (¯ s sc )) = ω S, ¯
H (w)(a sc (w)
−1 ¯
s sc ) = a sc (w)
−1 ¯
s sc .
Donc a sc (w) = ¯
s sc w S (¯ s sc )
−1 . Ce cocycle est l’image naturelle de l’élément de
H
1,0 (W F ; ˆ ¯
S sc → ˆ ¯
S ad ) dont la première composante est a sc et la seconde est triviale.
Mais ce cocycle est cohomologue à celui dont la première composante est triviale
et la seconde est ¯
s. Celui-ci définit le caractère ω 1 de Q 1 . L’assertion (3) résulte
de cela par dualité.
Grâce à (2), le caractère ω × de Q × se quotiente en un caractère noté ω ∞ de Q ∞ .
Lemme. Si ω ∞ n’est pas trivial sur l’image de l’homomorphisme q ∞ , alors
¯
ϕ[V
, d V ] = 0.
Preuve. La fonction ¯
ϕ[V
, d V ] est définie par la formule 7.1(3). Conformément
aux bijections de 7.3, on la récrit en remplaçant l’ensemble de sommation ˙
D F [d V ]
et ses éléments d par ˙
Y [d V ] et ses éléments y. L’hypothèse (1) posée ci-dessus