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Chapitre VII. Descente globale
Tous les termes appartiennent à S ,sc,v ( ¯
F v ) et leur produit appartient à
Z( ¯
G ,SC ; ¯
F v ). On peut aussi bien conjuguer chaque terme par ¯
r
−1
u . D’où
u 1,v (σ) = ˙
ξ sc,v ˙
ψ v (σ)
−1 σ( ˙
ξ sc,v )
−1 ,
où ˙
ξ sc,v et ˙
ψ v (σ) sont les images de ξ sc,v et ψ v (σ) dans ¯
S sc ( ¯
F v ). Cela montre que
les cocycles u 1,v et ˙
ψ
−1
v sont cohomologues. Il en résulte que l’image de u 1 dans Q 1
est la même que celle du cocycle ˙
ψ
−1 . En conjuguant la propriété (14) par ¯
r
−1
u ,
on voit que ˙
ψ
−1 et ˙
β diffèrent par une cochaîne à valeurs dans Z( ¯
G ; ¯
F ). Leurs
images dans Q 1 = H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) sont donc égales. Puisque l’image de ˙
β est q 1 ,
cela démontre que u 1 = q 1 .
Pour calculer u 2 , on doit fixer une décomposition y = π(y sc )z avec y sc ∈
G SC ( ¯
F ) et z ∈ Z(G; ¯
F ). Pour tout v, on fixe une décomposition i v k v = π(x sc,v )z v
avec x sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) et z v ∈ Z(G; ¯
F v ). Alors u 2 est l’image du cocycle adélique
à valeurs dans le complexe S sc → S dont la composante en v est la suivante.
Le premier terme est σ → σ(x sc,v )x
−1
sc,v y sc σ(y sc )
−1 et le second est zz
−1
v . Notons que le premier terme est à valeurs centrales, il est égal à son conjugué σ →
x
−1
sc,v y sc σ(x
−1
sc,v y sc ). Or y = jY g
= jπ(m v )ξ v k v g v π(h sc,v )g
= i v k v g v π(h sc,v )g
. Il
en résulte que g v π(h sc,v )g
= π(x
−1
sc,v y sc )zz
−1
v . Donc le terme u 2 apparaît comme
l’image naturelle dans Q 2 de l’élément gπ(h sc )g
∈ G(A F ). L’élément π(h sc ) s’envoie sur 1 dans H
0
ab (A F ; G). L’élément g
s’envoie sur un élément de H
0
ab (F ; G),
qui devient trivial dans Q 2 . Donc u 2 est l’image naturelle de g, c’est-à-dire q 2 .
Cela achève la démonstration.
VII.7.8 Un caractère de Q ∞
Dans ce paragraphe, on suppose
(1) ω et ω H coïncident sur I (A F ).
Puisque ¯
S sc S ¯
H est un sous-tore de ¯
H, l’élément ¯
s ∈ Z( ˆ ¯
H)
ΓF est aussi un
élément de ˆ ¯
S
ΓF
ad . On a un produit sur
H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) × ˆ ¯
S
ΓF
ad .
Donc ¯
s définit un caractère du premier groupe, lequel n’est autre que Q 1 . On le note
ω 1 . Relevons l’élément a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) en un cocycle encore
noté a à valeurs dans Z( ˆ
G). Il se pousse en un élément de H
1,0 (W F ; ˆ
S → ˆ
S ad ),
qui, par les dualités usuelles, définit un caractère de H
1,0 (A F /F ; S sc → S). Via le
plongement de Q 2 dans ce groupe, on récupère un caractère ω 2 de Q 2 . On vérifie
que le composé de ω 2 avec l’application naturelle G(A F ) → Q 2 n’est autre que
ω. Puisque qu’on a déjà dit que cette application etait surjective, cela fournit
une autre définition de ω 2 . On note ω 3 le caractère trivial de Q 3 . Notons ω × le
caractère de Q × dont la composante sur Q j est ω j pour tout j = 1, 2, 3.
Chapitre VII. Descente globale
Tous les termes appartiennent à S ,sc,v ( ¯
F v ) et leur produit appartient à
Z( ¯
G ,SC ; ¯
F v ). On peut aussi bien conjuguer chaque terme par ¯
r
−1
u . D’où
u 1,v (σ) = ˙
ξ sc,v ˙
ψ v (σ)
−1 σ( ˙
ξ sc,v )
−1 ,
où ˙
ξ sc,v et ˙
ψ v (σ) sont les images de ξ sc,v et ψ v (σ) dans ¯
S sc ( ¯
F v ). Cela montre que
les cocycles u 1,v et ˙
ψ
−1
v sont cohomologues. Il en résulte que l’image de u 1 dans Q 1
est la même que celle du cocycle ˙
ψ
−1 . En conjuguant la propriété (14) par ¯
r
−1
u ,
on voit que ˙
ψ
−1 et ˙
β diffèrent par une cochaîne à valeurs dans Z( ¯
G ; ¯
F ). Leurs
images dans Q 1 = H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) sont donc égales. Puisque l’image de ˙
β est q 1 ,
cela démontre que u 1 = q 1 .
Pour calculer u 2 , on doit fixer une décomposition y = π(y sc )z avec y sc ∈
G SC ( ¯
F ) et z ∈ Z(G; ¯
F ). Pour tout v, on fixe une décomposition i v k v = π(x sc,v )z v
avec x sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) et z v ∈ Z(G; ¯
F v ). Alors u 2 est l’image du cocycle adélique
à valeurs dans le complexe S sc → S dont la composante en v est la suivante.
Le premier terme est σ → σ(x sc,v )x
−1
sc,v y sc σ(y sc )
−1 et le second est zz
−1
v . Notons que le premier terme est à valeurs centrales, il est égal à son conjugué σ →
x
−1
sc,v y sc σ(x
−1
sc,v y sc ). Or y = jY g
= jπ(m v )ξ v k v g v π(h sc,v )g
= i v k v g v π(h sc,v )g
. Il
en résulte que g v π(h sc,v )g
= π(x
−1
sc,v y sc )zz
−1
v . Donc le terme u 2 apparaît comme
l’image naturelle dans Q 2 de l’élément gπ(h sc )g
∈ G(A F ). L’élément π(h sc ) s’envoie sur 1 dans H
0
ab (A F ; G). L’élément g
s’envoie sur un élément de H
0
ab (F ; G),
qui devient trivial dans Q 2 . Donc u 2 est l’image naturelle de g, c’est-à-dire q 2 .
Cela achève la démonstration.
VII.7.8 Un caractère de Q ∞
Dans ce paragraphe, on suppose
(1) ω et ω H coïncident sur I (A F ).
Puisque ¯
S sc S ¯
H est un sous-tore de ¯
H, l’élément ¯
s ∈ Z( ˆ ¯
H)
ΓF est aussi un
élément de ˆ ¯
S
ΓF
ad . On a un produit sur
H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) × ˆ ¯
S
ΓF
ad .
Donc ¯
s définit un caractère du premier groupe, lequel n’est autre que Q 1 . On le note
ω 1 . Relevons l’élément a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)) en un cocycle encore
noté a à valeurs dans Z( ˆ
G). Il se pousse en un élément de H
1,0 (W F ; ˆ
S → ˆ
S ad ),
qui, par les dualités usuelles, définit un caractère de H
1,0 (A F /F ; S sc → S). Via le
plongement de Q 2 dans ce groupe, on récupère un caractère ω 2 de Q 2 . On vérifie
que le composé de ω 2 avec l’application naturelle G(A F ) → Q 2 n’est autre que
ω. Puisque qu’on a déjà dit que cette application etait surjective, cela fournit
une autre définition de ω 2 . On note ω 3 le caractère trivial de Q 3 . Notons ω × le
caractère de Q × dont la composante sur Q j est ω j pour tout j = 1, 2, 3.