VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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à q ∞ (u). Reprenons la construction de q ∞ (u) de 7.6. On dispose déjà de l’élément
y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . On doit fixer pour toute place
v des éléments i v ∈ I( ¯
F v ) et k
v avec k
v = 1 si v ∈ V et k
v ∈ K ,v si v ∈ V , de
sorte que u(σ) = i v k
v σ(i v k
v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . L’égalité (14) montre que l’on
peut choisir i v = jπ(m v )ξ v et k
v = k v . Ces éléments vérifient la relation 7.6(1)
pour presque tout v. C’est clair pour k v puisque k v ∈ S ,v (o
nr
v ) pour v ∈ V
.
Grâce à (13), on a i v = jz
π(m v x v )b
−1
v a
−1
v . Les termes b v et a v appartiennent à
K
nr
v pour v ∈ V
. Les termes j et z
sont définis sur ¯
F , donc appartiennent à K
nr
v
pour presque tout v. Les termes m v et x v sont les composantes en w de termes
adéliques donc vérifient la même condition. On peut donc utiliser ces termes i v et
k v dans la construction de 7.6.
L’élément u 3 construit dans ce paragraphe est trivialement égal à q 3 .
Avant de calculer u 1 , on a besoin d’un résultat préliminaire. On fixe une
décomposition j = ¯
π (j sc )ζ j avec j sc ∈ ¯
G ,SC ( ¯
F ) et ζ j ∈ Z(I ; ¯
F ). Introduisons le
cocycle ψ : Γ F → ¯
G ,SC (A ¯
F ) défini par ψ(σ) = (j sc ¯
m)
−1 σ(j sc ¯
m).
Montrons que
(15) ψ prend ses valeurs dans ¯
S ,sc (A ¯
F ) ; on a ψ(σ)β(σ) ∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ) pour tout
σ ∈ Γ F .
On a vu dans la preuve de (12) que Y σ(Y )
−1
∈ π(α(σ))Z(I ; ¯
F ). On a
aussi jY σ(jY )
−1 = yσ(y)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) par définition de y. Il en résulte que
jπ(α(σ))σ(j)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) puis que j sc ¯
α(σ)σ(j sc )
−1
∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ). En remplaçant ¯
α(σ) par sa valeur ¯
mβ(σ)
−1 σ( ¯
m)
−1 et par inversion, on obtient
σ(j sc ¯
m)β(σ)(j sc ¯
m)
−1
∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ).
On peut aussi bien conjuguer cette relation par (j sc ¯
m)
−1 et on obtient la seconde
assertion de (15). La première en résulte immédiatement.
L’élément u 1 est l’image dans Q 1 d’un cocycle adélique. Calculons sa composante en une place v. On note i v,ad l’image de i v dans ¯
G ,AD . Elle appartient à
¯
G ,AD (F v ). Alors u 1,v est l’image de i v,ad par l’application
¯
G ,AD (F v ) → H
1 (Γ Fv ; Z( ¯
G )) → H
1 (F v ; ¯
S sc ).
On fixe une décomposition ξ v = ¯
π (ξ sc,v )ζ v avec ξ sc,v ∈ ¯
S ,sc,v ( ¯
F v ) et ζ v ∈
Z(I ; ¯
F v ). On a alors l’égalité i v = ¯
π (j sc ¯
m w ξ sc,v )ζ j ζ v . Pour σ ∈ Γ ¯
v , on a
u 1,v (σ) = j sc ¯
m w ξ sc,v σ(j sc ¯
m w ξ sc,v )
−1 .
Ce terme appartient à Z( ¯
G ,SC ; ¯
F v ) On peut aussi bien conjuguer le terme cidessus par σ(ξ sc,v ) ¯
m
−1
w j
−1
sc et on obtient
u 1,v (σ) = ξ sc,v σ(j sc ¯
m w )
−1 j sc ¯
m w σ(ξ sc,v )
−1 ,
autrement dit
u 1,v (σ) = ξ sc,v ψ v (σ)
−1 σ(ξ sc,v )
−1 .
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à q ∞ (u). Reprenons la construction de q ∞ (u) de 7.6. On dispose déjà de l’élément
y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . On doit fixer pour toute place
v des éléments i v ∈ I( ¯
F v ) et k
v avec k
v = 1 si v ∈ V et k
v ∈ K ,v si v ∈ V , de
sorte que u(σ) = i v k
v σ(i v k
v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . L’égalité (14) montre que l’on
peut choisir i v = jπ(m v )ξ v et k
v = k v . Ces éléments vérifient la relation 7.6(1)
pour presque tout v. C’est clair pour k v puisque k v ∈ S ,v (o
nr
v ) pour v ∈ V
.
Grâce à (13), on a i v = jz
π(m v x v )b
−1
v a
−1
v . Les termes b v et a v appartiennent à
K
nr
v pour v ∈ V
. Les termes j et z
sont définis sur ¯
F , donc appartiennent à K
nr
v
pour presque tout v. Les termes m v et x v sont les composantes en w de termes
adéliques donc vérifient la même condition. On peut donc utiliser ces termes i v et
k v dans la construction de 7.6.
L’élément u 3 construit dans ce paragraphe est trivialement égal à q 3 .
Avant de calculer u 1 , on a besoin d’un résultat préliminaire. On fixe une
décomposition j = ¯
π (j sc )ζ j avec j sc ∈ ¯
G ,SC ( ¯
F ) et ζ j ∈ Z(I ; ¯
F ). Introduisons le
cocycle ψ : Γ F → ¯
G ,SC (A ¯
F ) défini par ψ(σ) = (j sc ¯
m)
−1 σ(j sc ¯
m).
Montrons que
(15) ψ prend ses valeurs dans ¯
S ,sc (A ¯
F ) ; on a ψ(σ)β(σ) ∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ) pour tout
σ ∈ Γ F .
On a vu dans la preuve de (12) que Y σ(Y )
−1
∈ π(α(σ))Z(I ; ¯
F ). On a
aussi jY σ(jY )
−1 = yσ(y)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) par définition de y. Il en résulte que
jπ(α(σ))σ(j)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) puis que j sc ¯
α(σ)σ(j sc )
−1
∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ). En remplaçant ¯
α(σ) par sa valeur ¯
mβ(σ)
−1 σ( ¯
m)
−1 et par inversion, on obtient
σ(j sc ¯
m)β(σ)(j sc ¯
m)
−1
∈ Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ).
On peut aussi bien conjuguer cette relation par (j sc ¯
m)
−1 et on obtient la seconde
assertion de (15). La première en résulte immédiatement.
L’élément u 1 est l’image dans Q 1 d’un cocycle adélique. Calculons sa composante en une place v. On note i v,ad l’image de i v dans ¯
G ,AD . Elle appartient à
¯
G ,AD (F v ). Alors u 1,v est l’image de i v,ad par l’application
¯
G ,AD (F v ) → H
1 (Γ Fv ; Z( ¯
G )) → H
1 (F v ; ¯
S sc ).
On fixe une décomposition ξ v = ¯
π (ξ sc,v )ζ v avec ξ sc,v ∈ ¯
S ,sc,v ( ¯
F v ) et ζ v ∈
Z(I ; ¯
F v ). On a alors l’égalité i v = ¯
π (j sc ¯
m w ξ sc,v )ζ j ζ v . Pour σ ∈ Γ ¯
v , on a
u 1,v (σ) = j sc ¯
m w ξ sc,v σ(j sc ¯
m w ξ sc,v )
−1 .
Ce terme appartient à Z( ¯
G ,SC ; ¯
F v ) On peut aussi bien conjuguer le terme cidessus par σ(ξ sc,v ) ¯
m
−1
w j
−1
sc et on obtient
u 1,v (σ) = ξ sc,v σ(j sc ¯
m w )
−1 j sc ¯
m w σ(ξ sc,v )
−1 ,
autrement dit
u 1,v (σ) = ξ sc,v ψ v (σ)
−1 σ(ξ sc,v )
−1 .