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Chapitre VII. Descente globale
d’habitude, on note ¯
v le prolongement fixé de v à ¯
F et w sa restriction à E. Les
termes x et m ont des composantes locales x w et m w . Pour simplifier, on les note x v
et m v . Ces notations seront utilisées dans la suite de la preuve. Pour σ ∈ Γ Fv , on a
γ v (σ) = g sc,v σ(g sc,v )
−1 et κ v (σ) = k sc,v σ(k sc,v )
−1 , ces deux éléments appartenant
à Z(G SC ) et valant 1 si v ∈ V
. On en déduit que la composante dans E w de
α(σ)δ(σ) est égale à m v x v k sc,v g sc,v σ(m v x v k sc,v g sc,v )
−1 . Ce cocycle est un cobord,
d’où l’assertion (10).
Parce que G SC est simplement connexe, l’application
H
1 (F ; G SC ) → H
1 (A F ; G SC )
est injective ([51] théorème 1.6.9). Il en résulte que l’image de αδ dans H
1 (F ; G SC )
est triviale. On peut donc fixer Y sc ∈ G SC tel que α(σ)δ(σ) = Y sc σ(Y sc )
−1 pour
tout σ ∈ Γ F . Le calcul de locale trivialité que l’on vient de faire implique que,
pour toute place v, il existe h sc,v ∈ G SC (F v ) tel que
(11)
Y sc = m v x v k sc,v g sc,v h sc,v .
Posons Y = z
π(Y sc ). Montrons que
(12) Y appartient à Y [d V ].
Pour σ ∈ Γ F , on a Y σ(Y )
−1 = π(α(σ)δ(σ))z
σ(z
)
−1 . On a π(α(σ)) ∈
¯
G ( ¯
F ) ⊂ I ( ¯
F ). On a δ(σ) ∈ Z(I ,sc ; ¯
F ) donc π(δ(σ)) ∈ Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F ) et
aussi π(δ(σ))z
σ(z
)
−1
∈ Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F ). La relation (5) entraîne que cet élément est invariant par θ. Donc il appartient à Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F )
θ qui est inclus
dans Z(I ; ¯
F ). Donc Y σ(Y )
−1
∈ I ( ¯
F ). Cela prouve que Y ∈ Y . Soit v ∈ Val(F ).
La relation (8) entraîne qu’il existe ξ v ∈ S ,v ( ¯
F v )
θ tel que
(13) z
= ξ v π(x v )
−1 b v a v .
Utilisons (11). Puisque z
est central, on a
Y = π(Y sc )z
= π(m v x v )z
π(k sc,v g sc,v h sc,v ) = π(m v )ξ v b v a v π(k sc,v g sc,v h sc,v ).
Par construction, on a a v ∈ Z(G; ¯
F v ) si v ∈ V
et k sc,v = 1 si v ∈ V
. En tout
cas, a v et k sc,v commutent. L’égalité précédente se récrit
(14)
Y = π(m v )ξ v b v π(k sc,v )a v π(g sc,v )π(h sc,v ) = π(m v )ξ v k v g v π(h sc,v ).
Cette égalité décompose Y en le produit d’un élément de I ( ¯
F v ), à savoir π(m v )ξ v ,
d’un élément k v qui est égal à 1 si v ∈ V et qui appartient à K v si v ∈ V , et d’un
élément de G(F v ), à savoir g v π(h sc,v ). C’est exactement la condition pour que Y
appartienne à Y [d V ]. Cela prouve (12).
Fixons j ∈ I( ¯
F ) et g
∈ G(F ) tels que l’élément y = jY g
appartienne à notre
ensemble de représentants ˙
Y [d V ]. Pour σ ∈ Γ F , posons u(σ) = yσ(y)
−1 . Alors u
est un cocycle de Γ F dans Z(I ) qui appartient à U (lemme 7.5). Pour achever la
preuve du lemme, il suffit de prouver que l’image de (q 1 , q 2 , q 3 ) dans Q ∞ est égale
Chapitre VII. Descente globale
d’habitude, on note ¯
v le prolongement fixé de v à ¯
F et w sa restriction à E. Les
termes x et m ont des composantes locales x w et m w . Pour simplifier, on les note x v
et m v . Ces notations seront utilisées dans la suite de la preuve. Pour σ ∈ Γ Fv , on a
γ v (σ) = g sc,v σ(g sc,v )
−1 et κ v (σ) = k sc,v σ(k sc,v )
−1 , ces deux éléments appartenant
à Z(G SC ) et valant 1 si v ∈ V
. On en déduit que la composante dans E w de
α(σ)δ(σ) est égale à m v x v k sc,v g sc,v σ(m v x v k sc,v g sc,v )
−1 . Ce cocycle est un cobord,
d’où l’assertion (10).
Parce que G SC est simplement connexe, l’application
H
1 (F ; G SC ) → H
1 (A F ; G SC )
est injective ([51] théorème 1.6.9). Il en résulte que l’image de αδ dans H
1 (F ; G SC )
est triviale. On peut donc fixer Y sc ∈ G SC tel que α(σ)δ(σ) = Y sc σ(Y sc )
−1 pour
tout σ ∈ Γ F . Le calcul de locale trivialité que l’on vient de faire implique que,
pour toute place v, il existe h sc,v ∈ G SC (F v ) tel que
(11)
Y sc = m v x v k sc,v g sc,v h sc,v .
Posons Y = z
π(Y sc ). Montrons que
(12) Y appartient à Y [d V ].
Pour σ ∈ Γ F , on a Y σ(Y )
−1 = π(α(σ)δ(σ))z
σ(z
)
−1 . On a π(α(σ)) ∈
¯
G ( ¯
F ) ⊂ I ( ¯
F ). On a δ(σ) ∈ Z(I ,sc ; ¯
F ) donc π(δ(σ)) ∈ Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F ) et
aussi π(δ(σ))z
σ(z
)
−1
∈ Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F ). La relation (5) entraîne que cet élément est invariant par θ. Donc il appartient à Z(I ; ¯
F )Z(G; ¯
F )
θ qui est inclus
dans Z(I ; ¯
F ). Donc Y σ(Y )
−1
∈ I ( ¯
F ). Cela prouve que Y ∈ Y . Soit v ∈ Val(F ).
La relation (8) entraîne qu’il existe ξ v ∈ S ,v ( ¯
F v )
θ tel que
(13) z
= ξ v π(x v )
−1 b v a v .
Utilisons (11). Puisque z
est central, on a
Y = π(Y sc )z
= π(m v x v )z
π(k sc,v g sc,v h sc,v ) = π(m v )ξ v b v a v π(k sc,v g sc,v h sc,v ).
Par construction, on a a v ∈ Z(G; ¯
F v ) si v ∈ V
et k sc,v = 1 si v ∈ V
. En tout
cas, a v et k sc,v commutent. L’égalité précédente se récrit
(14)
Y = π(m v )ξ v b v π(k sc,v )a v π(g sc,v )π(h sc,v ) = π(m v )ξ v k v g v π(h sc,v ).
Cette égalité décompose Y en le produit d’un élément de I ( ¯
F v ), à savoir π(m v )ξ v ,
d’un élément k v qui est égal à 1 si v ∈ V et qui appartient à K v si v ∈ V , et d’un
élément de G(F v ), à savoir g v π(h sc,v ). C’est exactement la condition pour que Y
appartienne à Y [d V ]. Cela prouve (12).
Fixons j ∈ I( ¯
F ) et g
∈ G(F ) tels que l’élément y = jY g
appartienne à notre
ensemble de représentants ˙
Y [d V ]. Pour σ ∈ Γ F , posons u(σ) = yσ(y)
−1 . Alors u
est un cocycle de Γ F dans Z(I ) qui appartient à U (lemme 7.5). Pour achever la
preuve du lemme, il suffit de prouver que l’image de (q 1 , q 2 , q 3 ) dans Q ∞ est égale