VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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Mais la relation précédente devient
(1 − θ)( ˙
b ˙
aπ( ˙
x)
−1 ) = (1 − θ)(z
), avec z
∈ Z(G; ¯
F ).
Parce que ˙
β prend ses valeurs dans ¯
S sc , ¯
π ,sc ( ˙
β) prend ses valeurs dans S
θ
sc .
De plus, les couples (γ, (1 − θ)( ˙
a)) et (κ, (1 − θ)( ˙
b)) sont des cocycles. Cela permet
de calculer
(5) (1 − θ) ◦ π(δ(σ)) = (1 − θ)(σ(z
)(z
)
−1 ) pour tout σ ∈ Γ F .
A fortiori (1−θ)◦π(δ(σ)) ∈ Z(G; ¯
F ). Cela entraîne δ(σ) ∈ S
θ
sc ( ¯
F )Z(G SC ; ¯
F ).
Rappellons que l’on note I ,sc l’image réciproque dans G SC de l’image de I dans
G AD . Le groupe S
θ
sc ( ¯
F )Z(G SC ; ¯
F ) est le produit de Z(I ,sc ; ¯
F ) et de ¯
π ,sc ( ¯
S sc ( ¯
F )).
Seule compte pour nous l’image de ˙
β dans H
1 (A F /F ; ¯
S sc ). On peut modifier ˙
β
par une cochaîne à valeurs dans ¯
S sc ( ¯
F ). Par une telle modification, on peut donc
supposer
(6) δ(σ) ∈ Z(I ,sc ; ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F .
Transportons par ad u
−1
¯
r la cochaîne ˙
β en une cochaîne β à valeurs dans
¯
S ,sc (A ¯
F ). Transportons de même ˙
x en un élément x ∈ S ,sc (A ¯
F ). Puisque l’isomorphisme ad u
−1
¯
r est équivariant pour les actions galoisiennes et est l’identité
sur Z(I ,sc ), nos relations se conservent. C’est-à-dire que l’on a
(7) δ(σ) = xσ(x)
−1 ¯
π ,sc (β(σ))κ(σ)γ(σ) pour tout σ ∈ Γ F ;
(8) (1 − θ)(baπ(x)
−1 ) = (1 − θ)(z
).
D’après (6), ∂δ prend ses valeurs dans Z(I ,sc ; ¯
F ). Mais ∂δ = ¯
π ,sc (∂β).
Donc ∂β prend ses valeurs dans Z( ¯
G ; ¯
F ). Alors β se pousse en un cocycle à
valeurs dans ¯
G ,SC (A ¯
F )/Z( ¯
G ,SC ; ¯
F ). Parce que ¯
G est simplement connexe,
le théorème 2.2 de [46] dit que l’application
H
1 (Γ F ; ¯
G ,SC ( ¯
F )/Z( ¯
G ,SC ; ¯
F )) → H
1 (Γ F ; ¯
G (A ¯
F )/Z( ¯
G ; ¯
F ))
est surjective. On peut donc fixer ¯
m ∈ ¯
G (A ¯
F ) tel que, en posant ¯
α(σ) =
¯
mβ(σ)
−1 σ( ¯
m)
−1 , on ait ¯
α(σ) ∈ ¯
G ,SC ( ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F . Posons m = ¯
π ,sc ( ¯
m)
et α(σ) = ¯
π ,sc (¯ α(σ)). En utilisant (7), on obtient
α(σ) = mδ(σ)
−1 xσ(x)
−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)
−1 .
Mais δ(σ) ∈ Z(I ,sc ) commute à m et à α(σ). D’où
(9)
α(σ)δ(σ) = mxσ(x)
−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)
−1 .
La cochaîne αδ prend ses valeurs dans G SC ( ¯
F ). C’est un cocycle car le terme de
droite ci-dessus en est un. Montrons que
(10) ce cocycle est localement trivial.
On peut fixer une extension finie E de F telle que tous nos éléments et
toutes nos cochaînes prennent leurs valeurs dans A E . Soit v ∈ Val(F ). Comme