890
Chapitre VII. Descente globale
On calcule z
−1
v b v π(τ
−1
v ) = ζ
−1
v . Or cet élément appartient à Z(I ) donc est annulé
par 1 − θ. Notre cocycle est donc cohomologue au cocycle (χ
v , (1 − θ)(z)). Notons
que χ
v prend ses valeurs dans Z(I ,sc ) et que z ∈ Z(G). L’automorphisme ad ¯
r
−1
u
est l’identité sur ces groupes. Notre cocycle se transporte donc en un cocycle défini
par les mêmes formules, à valeurs cette fois dans le complexe S sc ( ¯
F v )
1−θ
→ ((1 −
θ)(S))( ¯
F v ). Il devient alors la composante en v d’un cocycle de Γ F dans le complexe
S sc ( ¯
F )
1−θ
→ ((1 − θ)(S))( ¯
F ). Donc son image dans Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 −
θ)(S)) est nulle. Cela prouve que l’image de q ∞ est contenue dans le noyau de q 0 .
Démontrons la réciproque. Considérons des éléments q j ∈ Q j , pour j = 1, 2, 3,
tels que q 0 (q 1 , q 2 , q 3 ) = 0. On relève q 1 en une cochaîne ˙
β : Γ F → ¯
S sc (A ¯
F ) telle que
∂ ˙
β prend ses valeurs dans ¯
S sc ( ¯
F ). On a noté ∂ la différentielle. D’après le lemme
6.3, l’application G(A F ) → H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)) = Q 2 est surjective. On
relève q 2 en un élément g = (g v ) v∈Val(F ) de G(A F ). On sait que l’application
naturelle K
V
→ H
0
ab (o
V ; G ) = Q 3 est surjective. On relève q 3 en un élément
k
V =
v ∈V k v ∈ K
V . Pour unifier les notations, on pose k v = 1 pour v ∈ V .
Fixons un ensemble fini V
de places de F contenant V et tel que, pour
v ∈ V
, le tore S ,v soit non ramifié et g v appartienne à K v . Pour v ∈ V
, on
sait que K v et S ,v (o v ) ont même image dans H
0
ab (F v ; G), cf. 1.5(2). Puisque seule
compte l’image de g v dans ce groupe, on peut supposer g v ∈ S ,v (o v ) pour v ∈ V
.
Pour la même raison, on peut supposer k v ∈ S ,v (o
nr
v ) pour v ∈ V
. Pour v ∈ V
,
on choisit des éléments g sc,v , k sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) et a v , b v ∈ Z(G; ¯
F v ) de sorte que
g v = a v π(g sc,v ), k v = b v π(k sc,v ). On suppose b v = 1 et k sc,v = 1 pour v ∈ V .
Pour v ∈ V
, on pose g sc,v = 1, k sc,v = 1 et a v = g v , b v = k v . Pour tout v,
a v et b v sont des éléments de S ,v ( ¯
F v ). Pour tout v et tout σ ∈ Γ Fv , on pose
γ v (σ) = g sc,v σ(g sc,v )
−1 et κ v (σ) = k sc,v σ(k sc,v )
−1 . Ce sont des cocycles à valeurs
dans Z(G SC ; ¯
F v ) et ils sont triviaux si v ∈ V
. Le couple (γ v , a v ) est l’image
naturelle de g v dans H
1,0 (F v ; S → S ,v ) H
0
ab (F v ; G). On note ˙
a v l’image de
a v dans S( ¯
F v ) par l’isomorphisme ad ¯
r
−1
u . Alors (γ v , ˙
a v ) est l’image naturelle de
g v dans H
1,0 (F v ; S sc → S) H
0
ab (F v ; G). Avec des notations similaires, (κ v , ˙
b v )
est l’image naturelle de k v dans H
1,0 (F v ; S sc → S/Z(G)
θ ) H
0
ab (F v ; G ). Nos
cocycles s’étendent en des cocycles adéliques γ et κ et nos termes a v , ˙
a v etc. . . se
regroupent en des termes adéliques a, ˙
a etc. . .
La condition q 0 (q 1 , q 2 , q 3 ) = 0 signifie que la cochaîne (¯ π ,sc ( ˙
β)κγ, (1 −
θ)( ˙
b ˙
a)), à valeurs dans le complexe S sc (A ¯
F )
1−θ
→ (1 − θ)(S(A ¯
F )), est cohomologue à une cochaîne à valeurs dans le complexe S sc ( ¯
F )
1−θ
→ (1 − θ)(S( ¯
F )). On
peut donc fixer ˙
x ∈ S sc (A ¯
F ) de sorte que (1 − θ)( ˙
b ˙
aπ( ˙
x)
−1 ) ∈ (1 − θ)(S( ¯
F )) et
que, en posant δ(σ) = ˙
xσ( ˙
x)
−1 ¯
π ,sc ( ˙
β(σ))κ(σ)γ(σ), on ait
(4) pour tout σ ∈ Γ F , δ(σ) ∈ S sc ( ¯
F ).
On peut écrire (1 − θ)( ˙
b ˙
aπ( ˙
x)
−1 ) = (1 − θ)(z
π( ˙
x
)), avec z
∈ Z(G; ¯
F ) et
˙
x
∈ S sc ( ¯
F ). On peut remplacer ˙
x par ˙
x ˙
x
. Cela ne perturbe pas la relation (4).
Chapitre VII. Descente globale
On calcule z
−1
v b v π(τ
−1
v ) = ζ
−1
v . Or cet élément appartient à Z(I ) donc est annulé
par 1 − θ. Notre cocycle est donc cohomologue au cocycle (χ
v , (1 − θ)(z)). Notons
que χ
v prend ses valeurs dans Z(I ,sc ) et que z ∈ Z(G). L’automorphisme ad ¯
r
−1
u
est l’identité sur ces groupes. Notre cocycle se transporte donc en un cocycle défini
par les mêmes formules, à valeurs cette fois dans le complexe S sc ( ¯
F v )
1−θ
→ ((1 −
θ)(S))( ¯
F v ). Il devient alors la composante en v d’un cocycle de Γ F dans le complexe
S sc ( ¯
F )
1−θ
→ ((1 − θ)(S))( ¯
F ). Donc son image dans Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 −
θ)(S)) est nulle. Cela prouve que l’image de q ∞ est contenue dans le noyau de q 0 .
Démontrons la réciproque. Considérons des éléments q j ∈ Q j , pour j = 1, 2, 3,
tels que q 0 (q 1 , q 2 , q 3 ) = 0. On relève q 1 en une cochaîne ˙
β : Γ F → ¯
S sc (A ¯
F ) telle que
∂ ˙
β prend ses valeurs dans ¯
S sc ( ¯
F ). On a noté ∂ la différentielle. D’après le lemme
6.3, l’application G(A F ) → H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)) = Q 2 est surjective. On
relève q 2 en un élément g = (g v ) v∈Val(F ) de G(A F ). On sait que l’application
naturelle K
V
→ H
0
ab (o
V ; G ) = Q 3 est surjective. On relève q 3 en un élément
k
V =
v ∈V k v ∈ K
V . Pour unifier les notations, on pose k v = 1 pour v ∈ V .
Fixons un ensemble fini V
de places de F contenant V et tel que, pour
v ∈ V
, le tore S ,v soit non ramifié et g v appartienne à K v . Pour v ∈ V
, on
sait que K v et S ,v (o v ) ont même image dans H
0
ab (F v ; G), cf. 1.5(2). Puisque seule
compte l’image de g v dans ce groupe, on peut supposer g v ∈ S ,v (o v ) pour v ∈ V
.
Pour la même raison, on peut supposer k v ∈ S ,v (o
nr
v ) pour v ∈ V
. Pour v ∈ V
,
on choisit des éléments g sc,v , k sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) et a v , b v ∈ Z(G; ¯
F v ) de sorte que
g v = a v π(g sc,v ), k v = b v π(k sc,v ). On suppose b v = 1 et k sc,v = 1 pour v ∈ V .
Pour v ∈ V
, on pose g sc,v = 1, k sc,v = 1 et a v = g v , b v = k v . Pour tout v,
a v et b v sont des éléments de S ,v ( ¯
F v ). Pour tout v et tout σ ∈ Γ Fv , on pose
γ v (σ) = g sc,v σ(g sc,v )
−1 et κ v (σ) = k sc,v σ(k sc,v )
−1 . Ce sont des cocycles à valeurs
dans Z(G SC ; ¯
F v ) et ils sont triviaux si v ∈ V
. Le couple (γ v , a v ) est l’image
naturelle de g v dans H
1,0 (F v ; S → S ,v ) H
0
ab (F v ; G). On note ˙
a v l’image de
a v dans S( ¯
F v ) par l’isomorphisme ad ¯
r
−1
u . Alors (γ v , ˙
a v ) est l’image naturelle de
g v dans H
1,0 (F v ; S sc → S) H
0
ab (F v ; G). Avec des notations similaires, (κ v , ˙
b v )
est l’image naturelle de k v dans H
1,0 (F v ; S sc → S/Z(G)
θ ) H
0
ab (F v ; G ). Nos
cocycles s’étendent en des cocycles adéliques γ et κ et nos termes a v , ˙
a v etc. . . se
regroupent en des termes adéliques a, ˙
a etc. . .
La condition q 0 (q 1 , q 2 , q 3 ) = 0 signifie que la cochaîne (¯ π ,sc ( ˙
β)κγ, (1 −
θ)( ˙
b ˙
a)), à valeurs dans le complexe S sc (A ¯
F )
1−θ
→ (1 − θ)(S(A ¯
F )), est cohomologue à une cochaîne à valeurs dans le complexe S sc ( ¯
F )
1−θ
→ (1 − θ)(S( ¯
F )). On
peut donc fixer ˙
x ∈ S sc (A ¯
F ) de sorte que (1 − θ)( ˙
b ˙
aπ( ˙
x)
−1 ) ∈ (1 − θ)(S( ¯
F )) et
que, en posant δ(σ) = ˙
xσ( ˙
x)
−1 ¯
π ,sc ( ˙
β(σ))κ(σ)γ(σ), on ait
(4) pour tout σ ∈ Γ F , δ(σ) ∈ S sc ( ¯
F ).
On peut écrire (1 − θ)( ˙
b ˙
aπ( ˙
x)
−1 ) = (1 − θ)(z
π( ˙
x
)), avec z
∈ Z(G; ¯
F ) et
˙
x
∈ S sc ( ¯
F ). On peut remplacer ˙
x par ˙
x ˙
x
. Cela ne perturbe pas la relation (4).