VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
889
Reprenons les constructions des termes u 1 , u 2 et u 3 de 7.6. De l’isomorphisme
ad ¯
r
−1
u : ¯
S → ¯
S se déduisent des isomorphismes
H
1 (A F ; ¯
S ,sc ) → H
1 (A F ; ¯
S sc ),
H
1,0 (A F ; S ,sc → S ) → H
1,0 (A F ; S sc → S),
H
1,0 (A F ; S ,sc → S /Z(G)
0 ) → H
1,0 (A F ; S sc → S/Z(G)
0 ).
Les espaces d’arrivée s’envoient ensuite respectivement dans Q 1 , Q 2 et Q 3 . Les
espaces de départ s’envoient donc eux-aussi dans ces groupes. Le terme u 1 est
l’image par l’application ainsi définie de l’élément de H
1 (A F ; ¯
S ,sc ) dont la composante en v est le cocycle σ → ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 . Le terme u 2 est l’image de l’élément
de H
1,0 (A F ; S ,sc → S ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle
σ → y sc σ(y sc )
−1 σ(x sc,v )x
−1
sc,v et de l’élement zz
−1
v de S . Le terme u 3 est l’image
de l’élément de H
1,0 (A F ; S ,sc → S /Z(G)
0 ) dont la composante en v est le couple
formé du cocycle σ → k sc,v σ(k sc,v )
−1 et de l’image de b v dans S /Z(G)
0 .
On envoie u 1 , u 2 et u 3 dans Q et on fait le produit. On obtient l’image
naturelle d’un élément de H
1,0 (A F ; S ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(S )) dont la composante en
v est (χ v , (1 − θ)(zz
−1
v b v )), où χ v est défini par
χ v (σ) = ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 )k sc,v σ(k sc,v )
−1 y sc σ(y sc )
−1 σ(x sc,v )x
−1
sc,v .
L’élément σ(x sc,v )x
−1
sc,v appartient à S ,sc,v ( ¯
F v ) et on ne change pas χ v (σ) en le
conjuguant par cet élément. On obtient
χ v (σ) = X v (σ)y sc σ(y sc )
−1 ,
où
X v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 )k sc,v σ(k sc,v )
−1 .
Parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G), on a k sc,v σ(k sc,v )
−1
∈ Z(G SC ) et on peut récrire
X v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v )k sc,v σ(k sc,v )
−1 σ(¯ π ,sc ( ¯ i sc,v ))
−1
= σ(x sc,v )x
−1
sc,v τ
−1
v x sc,v σ(x sc,v )
−1 σ(τ v ),
où τ v = x sc,v k
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v )
−1 . Il résulte des définitions que π(τ v ) = z
−1
v b v ζ v . Ce
dernier terme appartient à Z(G; ¯
F v )Z(I ; ¯
F v ) ⊂ S ,v ( ¯
F v ). Donc τ v ∈ S ,sc,v ( ¯
F v ).
En particulier, il commute à x sc,v σ(x sc,v )
−1 et on obtient simplement X v (σ) =
τ
−1
v σ(τ v ). L’élément σ(τ v ) commute aussi à χ v (σ) et on obtient
χ v (σ) = σ(τ v )
−1 χ v (σ)σ(τ v ) = σ(τ v )
−1 X v (σ)y sc σ(y sc )
−1 σ(τ v )
= τ
−1
v y sc σ(y sc )
−1 σ(τ v ).
Le couple (χ v , (1 − θ)(zz
−1
v b v )) est cohomologue au cocycle
(χ
v , (1 − θ)(zz
−1
v b v π(τ
−1
v ))), où χ
v (σ) = y sc σ(y sc )
−1 .
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Reprenons les constructions des termes u 1 , u 2 et u 3 de 7.6. De l’isomorphisme
ad ¯
r
−1
u : ¯
S → ¯
S se déduisent des isomorphismes
H
1 (A F ; ¯
S ,sc ) → H
1 (A F ; ¯
S sc ),
H
1,0 (A F ; S ,sc → S ) → H
1,0 (A F ; S sc → S),
H
1,0 (A F ; S ,sc → S /Z(G)
0 ) → H
1,0 (A F ; S sc → S/Z(G)
0 ).
Les espaces d’arrivée s’envoient ensuite respectivement dans Q 1 , Q 2 et Q 3 . Les
espaces de départ s’envoient donc eux-aussi dans ces groupes. Le terme u 1 est
l’image par l’application ainsi définie de l’élément de H
1 (A F ; ¯
S ,sc ) dont la composante en v est le cocycle σ → ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 . Le terme u 2 est l’image de l’élément
de H
1,0 (A F ; S ,sc → S ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle
σ → y sc σ(y sc )
−1 σ(x sc,v )x
−1
sc,v et de l’élement zz
−1
v de S . Le terme u 3 est l’image
de l’élément de H
1,0 (A F ; S ,sc → S /Z(G)
0 ) dont la composante en v est le couple
formé du cocycle σ → k sc,v σ(k sc,v )
−1 et de l’image de b v dans S /Z(G)
0 .
On envoie u 1 , u 2 et u 3 dans Q et on fait le produit. On obtient l’image
naturelle d’un élément de H
1,0 (A F ; S ,sc
1−θ
→ (1 − θ)(S )) dont la composante en
v est (χ v , (1 − θ)(zz
−1
v b v )), où χ v est défini par
χ v (σ) = ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 )k sc,v σ(k sc,v )
−1 y sc σ(y sc )
−1 σ(x sc,v )x
−1
sc,v .
L’élément σ(x sc,v )x
−1
sc,v appartient à S ,sc,v ( ¯
F v ) et on ne change pas χ v (σ) en le
conjuguant par cet élément. On obtient
χ v (σ) = X v (σ)y sc σ(y sc )
−1 ,
où
X v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v σ( ¯ i sc,v )
−1 )k sc,v σ(k sc,v )
−1 .
Parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G), on a k sc,v σ(k sc,v )
−1
∈ Z(G SC ) et on peut récrire
X v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v )k sc,v σ(k sc,v )
−1 σ(¯ π ,sc ( ¯ i sc,v ))
−1
= σ(x sc,v )x
−1
sc,v τ
−1
v x sc,v σ(x sc,v )
−1 σ(τ v ),
où τ v = x sc,v k
−1
sc,v ¯
π ,sc ( ¯ i sc,v )
−1 . Il résulte des définitions que π(τ v ) = z
−1
v b v ζ v . Ce
dernier terme appartient à Z(G; ¯
F v )Z(I ; ¯
F v ) ⊂ S ,v ( ¯
F v ). Donc τ v ∈ S ,sc,v ( ¯
F v ).
En particulier, il commute à x sc,v σ(x sc,v )
−1 et on obtient simplement X v (σ) =
τ
−1
v σ(τ v ). L’élément σ(τ v ) commute aussi à χ v (σ) et on obtient
χ v (σ) = σ(τ v )
−1 χ v (σ)σ(τ v ) = σ(τ v )
−1 X v (σ)y sc σ(y sc )
−1 σ(τ v )
= τ
−1
v y sc σ(y sc )
−1 σ(τ v ).
Le couple (χ v , (1 − θ)(zz
−1
v b v )) est cohomologue au cocycle
(χ
v , (1 − θ)(zz
−1
v b v π(τ
−1
v ))), où χ
v (σ) = y sc σ(y sc )
−1 .